起こらない確率と「少なくとも」

「A が起こらない確率」 $= 1 -$ 「A が起こる確率」を使って、「少なくとも 1 つ〜」の確率や、直接数えると多くなる場合の確率を求められる

前提

硬貨を投げる確率（中学数学場合の数と確率）
同時に取り出す確率（組み合わせの取り出し）（中学数学場合の数と確率）

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算数中学高校大学大学院

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硬貨を投げる確率（中学数学場合の数と確率）
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選び方（組み合わせ）の数（算数場合の数）
同時に取り出す確率（組み合わせの取り出し）（中学数学場合の数と確率）

説明

「A が起こらない確率」は「1 から A が起こる確率をひいたもの」として求められます。これを使うと、「少なくとも 1 枚は表が出る」「少なくとも 1 個は白玉が出る」のように、直接数えると場合がたくさんに分かれる確率を、反対側（起こらない場合）を数えるだけで簡単に求められます。

なぜそうしてよいのか

どの出方も同様に確からしく、全部で $n$ 通りあるとします。そのうち A が起こるのが $a$ 通りなら、A が起こらないのは残りの $n - a$ 通りです。どの出方も「A が起こる」か「A が起こらない」かのどちらか一方にだけ入るからです。したがって
$(A が起こらない確率) = \frac{n - a}{n} = 1 - \frac{a}{n} = 1 - (A が起こる確率)$
となります。同じ式を移しかえると、 $(A が起こる確率) = 1 - (A が起こらない確率)$ でもあります。

「少なくとも 1 つ白玉が出る」の反対は「白玉が 1 つも出ない（全部ほかの色）」です。「少なくとも 1 つ」を直接数えると「1 個のとき」「2 個のとき」…と場合分けが必要ですが、反対の「1 つも出ない」は 1 つの状況だけなので数えやすくなります。その確率を 1 からひけば、求める確率が得られます。

手順

求めたいことがら A の反対（A が起こらないこと）が何かをことばで書く。「少なくとも 1 つ〜」の反対は「1 つも〜でない」
起こりうる場合が全部で何通りかを、同じ色の玉や硬貨も区別して、樹形図や組の書き出しで数える
反対のことがらが起こる場合の数を数え、その確率を求める
$(A の確率) = 1 - (反対のことがらの確率)$ を計算する

例題

袋の中に赤玉が 3 個、白玉が 2 個入っている。この袋から同時に 2 個の玉を取り出すとき、少なくとも 1 個は白玉である確率を求めよ。

例題の解答

手順 1: 「少なくとも 1 個は白玉」の反対は「2 個とも白玉でない」、つまり「2 個とも赤玉」である。

手順 2: 赤玉を $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ 、白玉を $W_{1}, W_{2}$ と区別する。2 個の取り出し方は
${R_{1}, R_{2}}, {R_{1}, R_{3}}, {R_{1}, W_{1}}, {R_{1}, W_{2}}, {R_{2}, R_{3}}, {R_{2}, W_{1}}, {R_{2}, W_{2}}, {R_{3}, W_{1}}, {R_{3}, W_{2}}, {W_{1}, W_{2}}$
の 10 通りで、どれも同様に確からしい。

手順 3: 2 個とも赤玉になるのは ${R_{1}, R_{2}}, {R_{1}, R_{3}}, {R_{2}, R_{3}}$ の 3 通りなので、その確率は $\frac{3}{10}$ 。

手順 4: 求める確率は $1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ 。

答え: $\frac{7}{10}$

よくある誤り

「少なくとも 1 個は白玉」の反対を「少なくとも 1 個は赤玉」としてしまう誤り。正しくは反対は「白玉が 1 個もない（2 個とも赤玉）」で、上の例なら $1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ 。
反対のことがらの確率を求めたところで止めて、 $\frac{3}{10}$ を答えにしてしまう誤り。正しくは最後に 1 からひいて $1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ とする。
硬貨 3 枚で「少なくとも 1 枚表」を、表の枚数（0〜3 枚の 4 通り）で数えて $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ としてしまう誤り。表の枚数ごとの起こりやすさは同じではない。正しくは硬貨を区別して全部で $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通り、全部裏は 1 通りなので $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ 。
同じ色の玉を区別せずに「赤赤・赤白・白白」の 3 通りと数え、2 個とも赤玉の確率を $\frac{1}{3}$ としてしまう誤り。正しくは玉に番号をつけて区別し、全部で 10 通り、2 個とも赤玉は 3 通りなので $\frac{3}{10}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
袋の中に、赤玉が 2 個、白玉が 3 個、合わせて 5 個の玉が入っています。この袋から同時に 2 個の玉を取り出すとき、少なくとも 1 個は赤玉である確率を求めなさい。

起こらない確率と「少なくとも」

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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