技能一覧 › 中学数学 場合の数と確率

硬貨を投げる確率

硬貨を 2〜4 枚（または 1 枚を何回か）投げるとき、硬貨を区別して樹形図で全部の場合を数え、表・裏の出方についての確率を求められる

前提

• 確率の意味と求め方 （中学数学 場合の数と確率）
• 積の法則と和の法則 （算数 場合の数）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 硬貨に A、B、C…（1 枚を何回か投げるときは 1 回目、2 回目…）と名前をつけて区別する

2. 樹形図をかいて、表・裏の出方をすべて書き出し、全部の場合の数 $n$ を数える（$n$ は 2 枚なら $4$、3 枚なら $8$、4 枚なら $16$）

3. 樹形図の中から、求めることがらにあてはまる場合に印をつけて、その数 $a$ を数える

4. 確率を $\frac{a}{n}$ で求め、約分できれば約分する

例題

よくある誤り

• 硬貨を区別せず、2 枚の出方を「2 枚とも表・1 枚表で 1 枚裏・2 枚とも裏」の 3 通りとして、1 枚が表で 1 枚が裏の確率を $\frac{1}{3}$ としてしまう誤り。正しくは (表, 裏) と (裏, 表) を別に数え、全部で 4 通りのうち 2 通りなので $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

• 3 枚の出方を $2\times 3=6$ 通りや $2+2+2=6$ 通りとしてしまう誤り。1 枚ごとに 2 通りずつ分かれるので、正しくは $2\times 2\times 2=8$ 通り。

• 「少なくとも 1 枚は表」を「表がちょうど 1 枚」と取りちがえる誤り。3 枚のとき「少なくとも 1 枚は表」は 3 枚とも裏の 1 通り以外のすべてなので、正しくは $\frac{8-1}{8}=\frac{7}{8}$（ちょうど 1 枚の $\frac{3}{8}$ ではない）。

• 樹形図で書きもらしや重複があり、全部の数が $8$ や $16$ にならないまま計算してしまう誤り。書き出した数が 3 枚なら $2\times 2\times 2=8$、4 枚なら $2\times 2\times 2\times 2=16$ になっているか必ず確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  3 枚の硬貨 A, B, C を同時に 1 回投げます。表がちょうど 2 枚出る確率を求めなさい。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  数直線上の原点に点 P がある。硬貨を $1$ 回投げるごとに、表が出たら点 P を正の方向に $2$ だけ移動させ、裏が出たら点 P を負の方向に $1$ だけ移動させる。硬貨を $3$ 回投げたあと、点 P が $3$ を表す点にある確率を求めよ。

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  1 枚の硬貨を 4 回続けて投げ、表が出るたびに $2$ 点をもらい、裏が出るたびに $1$ 点を失うゲームをする。はじめの得点を $0$ 点とするとき、4 回投げ終わったときの得点が $2$ 点以上になる確率を求めよ。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  $1$ 個のさいころと、$2$ 枚の硬貨 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ を同時に $1$ 回投げる。さいころの出た目の数を $a$、表が出た硬貨の枚数を $k$ とし、得点を $a\times (k+1)$ 点とする。たとえば、さいころの目が $4$ で、硬貨 $\mathrm{A}$ だけが表のときの得点は $4\times 2=8$ 点である。得点が $8$ 点以上になる確率を求めよ。

この技能の次に学べること

• 起こらない確率と「少なくとも」 （中学数学 場合の数と確率）
• 点の移動と確率 （中学数学 場合の数と確率）