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場合の数と確率の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学場合の数と確率

1 枚の硬貨を 4 回続けて投げ、表が出るたびに $2$ 点をもらい、裏が出るたびに $1$ 点を失うゲームをする。はじめの得点を $0$ 点とするとき、4 回投げ終わったときの得点が $2$ 点以上になる確率を求めよ。

この問題で使うもの

硬貨を投げる確率（説明と入口の問題）
確率の意味と求め方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（6 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

硬貨を 4 回投げたときの出方は全部で何通りあるか、樹形図で考えよう。

ヒント 2

表が $k$ 回出たとき、裏は $(4 - k)$ 回なので、得点は $2 k - (4 - k)$ 点になる。表が何回以上なら $2$ 点以上になるかを調べよう。

ヒント 3

得点が $2$ 点以上になるのは表が $2$ 回以上のとき。表がちょうど $2$ 回の出方は $6$ 通りある。表が $3$ 回、 $4$ 回の場合も数えよう。

答えと解説

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\frac{11}{16}

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解説を読む

硬貨を 4 回投げるときの表・裏の出方は、1 回ごとに 2 通りずつあるので
$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 (通り)$
あり、どれも同様に確からしい。

表が出た回数ごとに得点を調べる。表が $k$ 回なら裏は $(4 - k)$ 回なので、得点は $2 k - (4 - k) = 3 k - 4$ 点である。
- 表 $0$ 回： $- 4$ 点
- 表 $1$ 回： $- 1$ 点
- 表 $2$ 回： $2$ 点
- 表 $3$ 回： $5$ 点
- 表 $4$ 回： $8$ 点

したがって、得点が $2$ 点以上になるのは表が $2$ 回以上出るときである。

樹形図などで数えると、表の回数ごとの出方の数は
- 表 $2$ 回： $6$ 通り（表表裏裏、表裏表裏、表裏裏表、裏表表裏、裏表裏表、裏裏表表）
- 表 $3$ 回： $4$ 通り（裏が何回目に出るかで 4 通り）
- 表 $4$ 回： $1$ 通り

よって、得点が $2$ 点以上になるのは $6 + 4 + 1 = 11$ 通り。

求める確率は
$\frac{11}{16}$

別解

硬貨を $4$ 回投げる表裏の出方は $2^{4} = 16$ 通り。

表が出た回数を $h$ 回とすると、裏は $4 - h$ 回。得点は $2 h - (4 - h) = 3 h - 4$ 点。

得点が $2$ 点以上になるのは $3 h - 4 \geq 2$ 、つまり $h \geq 2$ のとき。
- 表が $2$ 回: $6$ 通り（得点 $2$ 点）
- 表が $3$ 回: $4$ 通り（得点 $5$ 点）
- 表が $4$ 回: $1$ 通り（得点 $8$ 点）

合わせて $6 + 4 + 1 = 11$ 通り。

確率は $\frac{11}{16}$ 。

検算: 表が $0$ 回（得点 $- 4$ 点）は $1$ 通り、 $1$ 回（得点 $- 1$ 点）は $4$ 通りで、 $2$ 点未満は $5$ 通り。 $16 - 5 = 11$ 通りで一致する。

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