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場合の数と確率の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学場合の数と確率

$1$ 個のさいころと、 $2$ 枚の硬貨 $A, B$ を同時に $1$ 回投げる。さいころの出た目の数を $a$ 、表が出た硬貨の枚数を $k$ とし、得点を $a \times (k + 1)$ 点とする。たとえば、さいころの目が $4$ で、硬貨 $A$ だけが表のときの得点は $4 \times 2 = 8$ 点である。得点が $8$ 点以上になる確率を求めよ。

この問題で使うもの

硬貨を投げる確率（説明と入口の問題）
積の法則と和の法則（説明と入口の問題）
確率の意味と求め方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（6 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

硬貨 A, B を区別して、さいころと硬貨の出方が全部で何通りあるか考えよう。

ヒント 2

表の枚数 $k$ が $0, 1, 2$ のそれぞれについて、硬貨の出方が何通りあるかと、得点が $8$ 点以上になる $a$ の条件を調べよう。

ヒント 3

$k = 1$ のとき（硬貨の出方は $2$ 通り）は $a ≧ 4$ が条件になる。 $k = 2$ のときの条件 $3 a ≧ 8$ を満たす $a$ を数えよう。

答えと解説

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\frac{5}{12}

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解説を読む

さいころの目の出方は $6$ 通り、硬貨 $A, B$ の表裏の出方は $2 \times 2 = 4$ 通りなので、出方は全部で
$6 \times 4 = 24 (通り)$
あり、どれも同様に確からしい。

硬貨の出方と $k + 1$ の値は次のようになる。
- 2 枚とも裏（ $k = 0$ ）: $1$ 通りで、 $k + 1 = 1$
- 1 枚だけ表（ $k = 1$ ）: A が表で B が裏、A が裏で B が表の $2$ 通りで、 $k + 1 = 2$
- 2 枚とも表（ $k = 2$ ）: $1$ 通りで、 $k + 1 = 3$

それぞれの場合で、得点が $8$ 点以上になるさいころの目を数える。
- $k + 1 = 1$ のとき: 得点は $a$ 点で、 $a ≦ 6$ なので $8$ 点以上にならない。 $0$ 通り
- $k + 1 = 2$ のとき: $2 a ≧ 8$ より $a ≧ 4$ 、つまり $a = 4, 5, 6$ の $3$ 通り。硬貨の出方が $2$ 通りあるので $3 \times 2 = 6$ 通り
- $k + 1 = 3$ のとき: $3 a ≧ 8$ より $a ≧ \frac{8}{3}$ 、つまり $a = 3, 4, 5, 6$ の $4$ 通り。硬貨の出方は $1$ 通りなので $4 \times 1 = 4$ 通り

合計は $0 + 6 + 4 = 10$ 通り。

よって、求める確率は
$\frac{10}{24} = \frac{5}{12}$

別解

さいころ 6 通り、硬貨 A, B は表裏の 4 通り（(表,表),(表,裏),(裏,表),(裏,裏)）で、全部で $6 \times 4 = 24$ 通り。
$k = 0$ （2 枚とも裏、1 通り）: 得点は $a \times 1 \leq 6$ で $8$ 点以上にならない。 $0$ 通り。
$k = 1$ （片方だけ表、2 通り）: $2 a \geq 8$ より $a \geq 4$ なので $a = 4, 5, 6$ の 3 通り。 $3 \times 2 = 6$ 通り。
$k = 2$ （2 枚とも表、1 通り）: $3 a \geq 8$ より $a \geq 3$ なので $a = 3, 4, 5, 6$ の 4 通り。 $4 \times 1 = 4$ 通り。
合計 $0 + 6 + 4 = 10$ 通り。確率は $\frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ 。
検算: $a = 3, k = 2$ の得点は $9 \geq 8$ 、 $a = 3, k = 1$ の得点は $6 < 8$ で、場合分けと整合する。

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