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場合の数と確率の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学場合の数と確率

大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$ 、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。座標平面上に点 $P (a, b)$ をとるとき、点 $P$ が関数 $y = \frac{12}{x}$ のグラフ上にあるか、またはこのグラフより下側にある確率を求めよ。ただし、「グラフより下側にある」とは、 $b$ が $x = a$ のときの $y$ の値 $\frac{12}{a}$ より小さいことをいう。

この問題で使うもの

2 つのさいころと 36 通りの表（説明と入口の問題）
さいころの目でつくる数や式の条件（説明と入口の問題）
確率の意味と求め方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

点 $P$ がグラフ上または下側にある条件を、 $a$ と $b$ の式で表してみよう。

ヒント 2

$b ≦ \frac{12}{a}$ は、両辺に $a$ をかけると $ab ≦ 12$ と同じことになる。

ヒント 3

$a = 1, 2, 3$ のとき、条件を満たす $b$ はそれぞれ $6$ 通り、 $6$ 通り、 $4$ 通りある。残りの $a = 4, 5, 6$ についても数えよう。

答えと解説

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\frac{23}{36}

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解説を読む

目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあり、どれも同様に確からしい。

点 $P (a, b)$ がグラフ上またはグラフより下側にあるのは、 $b ≦ \frac{12}{a}$ のときである。 $a$ は正なので、両辺に $a$ をかけて $ab ≦ 12$ となる場合を数えればよい。

$a = 1$ のとき: $b ≦ 12$ なので $b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ の $6$ 通り
$a = 2$ のとき: $b ≦ 6$ なので $b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ の $6$ 通り
$a = 3$ のとき: $b ≦ 4$ なので $b = 1, 2, 3, 4$ の $4$ 通り
$a = 4$ のとき: $b ≦ 3$ なので $b = 1, 2, 3$ の $3$ 通り
$a = 5$ のとき: $b ≦ \frac{12}{5} = 2.4$ なので $b = 1, 2$ の $2$ 通り
$a = 6$ のとき: $b ≦ 2$ なので $b = 1, 2$ の $2$ 通り

合計は $6 + 6 + 4 + 3 + 2 + 2 = 23$ 通り。

よって、求める確率は
$\frac{23}{36}$

別解

目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通り。
点 P がグラフ上またはグラフより下側にあるのは $b \leq \frac{12}{a}$ 、つまり $ab \leq 12$ のとき。
$a = 1$ : $b = 1 \sim 6$ の 6 通り。
$a = 2$ : $2 b \leq 12$ より $b = 1 \sim 6$ の 6 通り。
$a = 3$ : $3 b \leq 12$ より $b = 1 \sim 4$ の 4 通り。
$a = 4$ : $4 b \leq 12$ より $b = 1 \sim 3$ の 3 通り。
$a = 5$ : $5 b \leq 12$ より $b = 1, 2$ の 2 通り。
$a = 6$ : $6 b \leq 12$ より $b = 1, 2$ の 2 通り。
合計 $6 + 6 + 4 + 3 + 2 + 2 = 23$ 通り。確率は $\frac{23}{36}$ 。
検算: 余事象 $ab > 12$ は $(3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$ の 13 通りで、 $36 - 13 = 23$ 。

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