技能一覧 › 中学数学 場合の数と確率

さいころの目でつくる数や式の条件

2 つのさいころの目 $a$, $b$ を使った数や式（$\frac{b}{a}$ が整数、$\sqrt{ab}$ が整数、$10a+b$ が倍数 など）が条件を満たす組を表から数え、確率を求められる

前提

• 2 つのさいころと 36 通りの表 （中学数学 場合の数と確率）
• 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 目の出方を $(a,b)$ の組で表し、全部で $6\times 6=36$ 通りで、どれも同様に確からしいことを確かめる

2. 式の条件を目の言葉に言いかえる（例: $\frac{b}{a}$ が整数 $\iff$ $b$ が $a$ の倍数、$\sqrt{ab}$ が整数 $\iff$ $ab$ が $1,4,9,16,25,36$ のどれか）

3. $a=1,2,\dots ,6$ のそれぞれについて、条件を満たす $b$ を表や書き出しで数える

4. 数えた組の数を合計し、$\frac{\text{条件を満たす組の数}}{36}$ を約分して確率を求める

例題

よくある誤り

• $\sqrt{ab}$ が整数になるのは $a=b$ のときだけだと考えて $\frac{6}{36}$ としてしまう誤り。正しくは $(a,b)=(1,4),(4,1)$ のように $ab=4$ となる組も含め、全部で 8 通りなので $\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$。

• $(1,4)$ と $(4,1)$ を同じものとして 1 通りと数えてしまう誤り。正しくは大小のさいころは区別するので、$(a,b)=(1,4)$ と $(4,1)$ は別の 2 通りとして数える。

• $\frac{b}{a}$ が整数になる条件を「$a$ が $b$ の倍数」と逆にしてしまう誤り。正しくは $b$ が $a$ の倍数のときで、たとえば $a=2,b=6$ なら $\frac{6}{2}=3$ で整数になる。

• $10a+b$ を $a+b$ や $a\times b$ と取り違えてしまう誤り。正しくは $10a+b$ は十の位が $a$、一の位が $b$ の 2 けたの数で、$a=3,b=6$ なら $36$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  大小 2 つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目を $a$、小さいさいころの出た目を $b$ とします。$\frac{b}{a}$ が整数になる確率を求めなさい。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。積 $ab$ が $4$ の倍数になる確率を求めよ。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。$\sqrt{ab}$ が整数になる確率を求めよ。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。座標平面上に点 $\mathrm{P}(a,b)$ をとるとき、点 $\mathrm{P}$ が関数 $y=\frac{12}{x}$ のグラフ上にあるか、またはこのグラフより下側にある確率を求めよ。ただし、「グラフより下側にある」とは、$b$ が $x=a$ のときの $y$ の値 $\frac{12}{a}$ より小さいことをいう。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  大小 $2$ つのさいころを同時に $1$ 回投げ、大きいさいころの出た目の数を $a$、小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。$1$ 次関数 $y=ax-b$ について、$x=2$ のときの $y$ の値が $5$ 以上になる確率を求めよ。