分数のかけ算・わり算

帯分数を仮分数になおし、わる数を逆数にして、分数のかけ算・わり算（例: $1 \frac{1}{4} \div \frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$ ）を途中で約分しながら計算できる

前提

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）

説明

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$ や $1 \frac{1}{4} \div \frac{5}{6}$ のような、分数のかけ算・わり算や、それらがまじった式を計算できるようになります。帯分数は仮分数になおし、わり算はわる数の分母と分子を入れかえたかけ算になおして、1 つの分数にまとめて計算します。「 $\frac{3}{4}$ m のリボンの $\frac{2}{3}$ の長さ」や「1 L あたりの量」を求めるときなどに使います。

なぜそうしてよいのか

かけ算から考えます。 $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$ は「 $\frac{4}{5}$ の $\frac{2}{3}$ 倍」です。たて 1 m、横 1 m の正方形を、たてに 5 等分、横に 3 等分すると、同じ大きさの小さな長方形が $5 \times 3 = 15$ こでき、1 こは $\frac{1}{15}$ です。たて $\frac{4}{5}$ m、横 $\frac{2}{3}$ m の長方形は、その小さな長方形が $4 \times 2 = 8$ こ分なので、面積は $\frac{8}{15}$ です。つまり、分数のかけ算は「分母どうし・分子どうしをかける」で計算できます。整数は $3 = \frac{3}{1}$ のように分母が 1 の分数と考えます。

次にわり算です。分母と分子を入れかえた分数を「逆数」といいます（ $\frac{3}{8}$ の逆数は $\frac{8}{3}$ ）。 $\div \frac{1}{8}$ は「 $\frac{1}{8}$ がいくつ入っているか」なので、1 の中に 8 こ入ることから $\times 8$ と同じです。 $\frac{3}{8}$ は $\frac{1}{8}$ の 3 倍の大きさなので、入る数は $\frac{1}{3}$ になり、 $\div \frac{3}{8}$ は「 $\times 8$ して $\div 3$ 」、つまり $\times \frac{8}{3}$ と同じになります。こうして、わり算はわる数の逆数をかけるかけ算になおせます。

かけ算とわり算だけの式は、全部をかけ算になおすと、分子どうし・分母どうしをまとめてかける 1 つの分数になります。約分は「分母と分子を同じ数でわる」ことなので、かける前に、分子の数の 1 つと分母の数の 1 つを同じ数でわっておく（途中で約分する）と、大きな数をかけずにすみます。帯分数 $2 \frac{1}{4}$ は「1 が 2 こと $\frac{1}{4}$ 」なので、 $2 = \frac{8}{4}$ と考えて $\frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ （仮分数）になおしてから計算します。

手順

帯分数があれば仮分数になおす（整数の部分 × 分母 + 分子を新しい分子にする）。整数は分母が 1 の分数と考える
わり算は、わる数の分母と分子を入れかえて（逆数にして）かけ算になおす
全体を 1 本の分数の線にまとめ、分子にかける数をすべて上に、分母にかける数をすべて下に書く
かけ合わせる前に、分子のどれかと分母のどれかを同じ数でわって約分する（できるだけくり返す）
残った分子どうし・分母どうしをかけ、仮分数になったら必要に応じて帯分数や整数になおす

例題

$2 \frac{1}{4} \div \frac{3}{8} \times \frac{5}{6}$ を計算しなさい。

例題の解答

手順1: $2 \frac{1}{4}$ を仮分数になおします。 $2 \times 4 + 1 = 9$ なので $\frac{9}{4}$ です。

手順2: $\div \frac{3}{8}$ を、逆数をかける $\times \frac{8}{3}$ になおします。式は $\frac{9}{4} \times \frac{8}{3} \times \frac{5}{6}$ になります。

手順3: 1 つの分数にまとめると $\frac{9 \times 8 \times 5}{4 \times 3 \times 6}$ です。

手順4: 途中で約分します。分子の 9 と分母の 3 を 3 でわって 3 と 1、分子の 8 と分母の 4 を 4 でわって 2 と 1 になり、 $\frac{3 \times 2 \times 5}{1 \times 1 \times 6}$ です。さらに分子の 3 と分母の 6 を 3 でわって 1 と 2、分子の 2 と分母の 2 を 2 でわって 1 と 1 になり、 $\frac{1 \times 1 \times 5}{1 \times 1 \times 1}$ となります。

手順5: $\frac{5}{1} = 5$ です。

答えは 5 です。

答え: $5$

よくある誤り

わり算で、わる数ではなくわられる数を逆数にしてしまう誤り。 $\frac{9}{4} \div \frac{3}{8}$ を $\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}$ としてはいけません。正しくはわる数を逆数にして $\frac{9}{4} \times \frac{8}{3} = 6$ です。
帯分数を仮分数になおさずに、整数の部分と分数の部分を別々にかけてしまう誤り。 $2 \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}$ を $2 \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}$ や $2 \frac{2}{12}$ としてはいけません。正しくは $\frac{9}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$ です。
分子どうしや分母どうしで約分してしまう誤り。 $\frac{4}{9} \times \frac{6}{8}$ で、分子どうしの 4 と 6 を 2 でわって $\frac{2 \times 3}{9 \times 8} = \frac{1}{12}$ としてはいけません。約分できるのは分子と分母の組だけで、正しくは分子の 4 と分母の 8 を 4 でわり、分子の 6 と分母の 9 を 3 でわって $\frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{1}{3}$ です。
かけ算とわり算がまじった式で、後ろのかけ算を先に計算してしまう誤り。 $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ を $\frac{3}{4} \div \frac{1}{6} = \frac{9}{2}$ としてはいけません。正しくは左から順に（わる数だけを逆数にして） $\frac{3}{4} \times 2 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の計算をしなさい。答えは、できるだけ約分した分数で答えなさい。
$\frac{3}{4} \div \frac{9}{10}$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
相当算（算数割合と比）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）