けんたさんは、はじめに持っていたお金の より 円多く使ったところ、残りは 円になりました。けんたさんがはじめに持っていたお金は何円ですか。
相当算
線分図をかいて、「残りの より 200 円多く使った」のような条件を順にさかのぼり、ある量が全体のどの割合に相当するかから全体（はじめの量）を求められる
前提
- 割合の基本（もとにする量・くらべる量） （算数 割合と比）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
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- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 割合の基本（もとにする量・くらべる量） （算数 割合と比）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
説明
「はじめに持っていたお金の を使い、次に残りの より 300 円多く使ったら、900 円残った」のように、全体（はじめの量）がわからないまま割合と量がまじって書かれた問題で、全体を求められるようになります。線分図をかき、「わかっている量が、もとにする量のどれだけの割合に相当するか」を見つけて、わり算でもとにする量を出すのがポイントです。この解き方を相当算といい、お金の使い方、本のページ数、ひもの長さなどの問題でよく使います。
なぜそうしてよいのか
全体を 1 とみると、「全体の 」は線分図の上で全体の線を 5 等分したうちの 2 つ分の長さとしてかけます。そこに「200 円多く」のような実際の量をつけ足したり、取りのぞいたりしていくと、線分図の中のある部分について「この部分は全体の にあたり、量は 900 円」のように、割合と実際の量の両方がわかる部分が見つかります。
割合の基本では「もとにする量 × 割合 ＝ くらべる量」でした。全体がもとにする量なので、「全体 × ＝ 900 円」となり、全体は で求められます。つまり、相当算は「割合と量が対応している部分」を見つけて、量 ÷ 割合 でもとにする量を出す方法です。
「残りの 」のように、もとにする量が途中で変わる問題では、何をもとにした割合なのかに気をつけます。「残りの 」は、はじめの量ではなく「その時点の残り」を 1 とみた割合です。そこで、線分図を段階ごとに分けてかき、最後にわかっている量から順にさかのぼります。まず「残り」を 1 とみて残りの量を求め、次にその量を使って、前の段階（はじめの量）を求めていきます。
手順
全体（はじめの量）を 1 とみて線分図をかき、問題文の条件を順に書きこむ。
「〜の 」の「〜」が何か（はじめの量か、残りの量か）を確かめ、もとにする量が変わるところで線分図を分ける。
最後にわかっている量から順にさかのぼり、割合と実際の量が対応している部分を見つける。例: 「残りの が 1200 円にあたる」。
その部分について、量 ÷ 割合 でもとにする量を求める。例: 。
さかのぼる段階が残っていれば、求めた量を使って手順 3〜4 をくりかえし、はじめの量まで求める。最後に、問題の条件どおりに計算して確かめる。
例題
あきさんは、はじめに持っていたお金の を使いました。次に、残りのお金の より 300 円多く使ったところ、900 円残りました。はじめに持っていたお金は何円ですか。
例題の解答
手順 1: はじめに持っていたお金を 1 とみて線分図をかきます。1 回目に使ったのは全体の です。その残りを別の線分図にかき、2 回目に使ったのは「残りの と 300 円」、最後に残ったのが 900 円です。
手順 2: 1 回目の は「はじめの量」がもとにする量、2 回目の は「1 回目の残り」がもとにする量です。もとにする量が変わるので、2 つの段階に分けて考えます。
手順 3（2 回目の段階）: 1 回目の残りを 1 とみます。そこから を取りのぞいた部分は、残りの にあたります。この部分は、2 回目に使った 300 円と最後の 900 円を合わせた 円です。つまり、1 回目の残りの が 1200 円にあたります。
手順 4: 1 回目の残りは 円です。
手順 5（1 回目の段階にさかのぼる）: はじめの量を 1 とみると、1 回目の残りは にあたり、それが 1600 円です。よって、はじめの量は 円です。
確かめ: 1 回目に 円使い、残りは 円。2 回目に 円使い、残りは 円で合っています。
よって、はじめに持っていたお金は 4000 円です。
答え:
よくある誤り
「300 円多く使った」を逆向きにあつかい、残りの にあたる量を 円としてしまう誤り。正しくは、300 円は のほかに使ったお金なので、 の部分は最後の 900 円と 300 円を合わせた 円。
最後に残った 900 円をそのまま残りの とみて、 円を 1 回目の残りとしてしまう誤り。正しくは、線分図で 300 円の部分をふくめて考え、 円。
わかっている量に割合をかけて 円を 1 回目の残りとしてしまう誤り。1 回目の残りがもとにする量なので、もとにする量 ＝ 量 ÷ 割合 で 円。
「残りの 」を「はじめの 」と同じに考えてしまう誤り。たとえば例題で、はじめの量を 1 として が 円にあたるとし、 円としてしまう。正しくは、 は 1 回目の残りをもとにする割合なので、まず 円（1 回目の残り）を求め、次に 円とさかのぼる。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
はるとさんは、持っていたリボンのうち を工作に使いました。残ったリボンの長さは 240 cm でした。はるとさんがはじめに持っていたリボンの長さは何 cm ですか。
はるとさんは本を読んでいます。1 日目に本全体のページ数の を読み、2 日目に 63 ページ読んだところ、まだ読んでいないページ数は本全体のページ数の になりました。この本は全部で何ページですか。
ある水そうに、水そうの容積の まで水が入っています。この水そうに、さらに 33 L の水を入れたところ、水の量は水そうの容積の になりました。この水そうの容積は何 L ですか。
ゆうきさんは、持っていたお金の で本を買いました。次に、残ったお金の より 200 円多いお金で弁当を買ったところ、700 円残りました。ゆうきさんがはじめに持っていたお金は何円ですか。
はるとさんは、ある本を 3 日間で読みました。1 日目は本全体のページ数の より 10 ページ少なく読みました。2 日目は残りのページ数の より 6 ページ多く読みました。3 日目はそのときの残りのページ数の を読んだところ、まだ 48 ページ残っていました。この本は全部で何ページですか。
あるボールを床から真上のある高さのところで静かにはなすと、ボールは床ではね返り、はなした（または落ちてきた）高さの の高さまで真上にはね上がります。はね上がったボールは、そのまま真下に落ちてまた床ではね返り、これをくり返します。
このボールをある高さからはなしたところ、はなしてから床に 3 回目に当たるまでに、ボールが上下に動いた道のりの合計は 730 cm でした。はじめにボールをはなした高さは何 cm ですか。