学級文庫に本が 冊あります。このうち、物語の本の冊数は、学級文庫の本全体の冊数の 倍です。物語の本は何冊ありますか。
割合の基本(もとにする量・くらべる量)
割合 = くらべる量 ÷ もとにする量 の関係を使って、くらべる量・もとにする量・割合のうち 2 つから残りの 1 つ(例: 80 人の 0.35 倍は何人か)を求められる
前提
- 小数の四則計算 (算数 計算と数のきまり)
説明
「80 人の 0.35 倍は何人か」「14 人は 40 人の何倍か」「ある人数の 0.35 倍が 14 人のとき、ある人数は何人か」のように、くらべる量・もとにする量・割合の 3 つのうち 2 つがわかっているとき、残りの 1 つを求められるようになります。割合は、ねだん・人数・長さなど、いろいろな量を「もとにする量の何倍か」でくらべるときに使い、百分率や歩合、売買損益、食塩水などの問題の土台になります。
なぜそうしてよいのか
割合とは、「くらべる量が、もとにする量の何倍にあたるか」を表す数です。たとえば 40 人をもとにして 14 人をくらべると、 なので、14 人は 40 人の 0.35 倍です。これが「割合 = くらべる量 ÷ もとにする量」です。
これは「□ 倍」を考えるかけ算と同じ関係です。「40 人の 0.35 倍が 14 人」は と書けます。つまり「もとにする量 × 割合 = くらべる量」です。このかけ算の式で、わからない数を □ にすると、残りの 2 つの求め方も出てきます。 なら □ は (割合を求める)、 なら □ は (もとにする量を求める)です。
線分図で考えると、もとにする量を「1」の長さ、くらべる量をそれに対する長さとしてかきます。もとにする量 40 人が 1 にあたり、くらべる量 14 人が 0.35 にあたる、と見ると、どの数を求めればよいかがわかりやすくなります。
手順
問題文の「〜の」「〜をもとにすると」がついている量を、もとにする量(割合 1 にあたる量)と決める。
わかっている 2 つの数が、くらべる量・もとにする量・割合のどれにあたるかを書き出す。
「もとにする量 × 割合 = くらべる量」の式に、わかっている数を入れ、わからないところを □ にする。
□ を求める。くらべる量なら「もとにする量 × 割合」、割合なら「くらべる量 ÷ もとにする量」、もとにする量なら「くらべる量 ÷ 割合」で計算する。
答えをもとの式に入れて、かけ算が合うか確かめる。
例題
あるクラスで、メガネをかけている人は 14 人です。これはクラス全体の人数の 0.35 倍にあたります。クラス全体の人数は何人ですか。
例題の解答
手順 1: 「クラス全体の人数の 0.35 倍」なので、もとにする量はクラス全体の人数です。
手順 2: くらべる量はメガネをかけている人の 14 人、割合は 0.35、もとにする量(クラス全体の人数)がわかっていません。
手順 3: もとにする量 × 割合 = くらべる量 なので、 です。
手順 4: もとにする量を求めるので、□ は です。
手順 5: 確かめると、 で合っています。
よって、クラス全体の人数は 40 人です。
答え:
よくある誤り
もとにする量を求めるのに、くらべる量に割合をかけて としてしまう誤り。正しくは、 なので □ は 。全体の人数がメガネの人数より少なくなるのはおかしい、と気づけるようにする。
割合を求めるのに、わる数とわられる数を逆にして としてしまう誤り。正しくは、割合 = くらべる量 ÷ もとにする量 なので 。
「〜の」がついている量を見落とし、もとにする量とくらべる量を取りちがえる誤り。「メガネの人数は全体の人数の 0.35 倍」で、メガネの人数 14 人をもとにして としてはいけない。「の」がついた全体の人数がもとにする量なので、正しくは 全体の人数 × 0.35 = メガネの人数 となる。
小数のわり算で小数点の位置をまちがえ、 としてしまう誤り。正しくは、わる数とわられる数を両方 100 倍して 。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
はるとさんは、持っていたリボンのうち を工作に使いました。残ったリボンの長さは 240 cm でした。はるとさんがはじめに持っていたリボンの長さは何 cm ですか。
ある図書館の今月の利用者数は、先月の利用者数より 1 割 2 分増えて 4480 人でした。先月の利用者数は何人でしたか。
ある小学校の児童のうち、45 % が男子で、残りが女子です。男子の 2 割、女子の 3 割がめがねをかけていて、めがねをかけている児童は全部で 153 人です。この小学校の児童は全部で何人ですか。
そうたさんは、バスケットボールのシュート練習で、これまでに 40 本のシュートを打ち、そのうち 25 本が成功しました。このあと、何本か続けてシュートを打ったところ、それらはすべて成功し、打ったシュート全体の成功率がちょうど 7 割 5 分になりました。このあと続けて打ったシュートは何本ですか。
ある長方形の花だんの縦の長さを 30 % 長くし、横の長さを何 % か短くして、新しい長方形の花だんをつくりました。すると、新しい花だんの面積は、もとの花だんの面積より 9 % 小さくなりました。横の長さを何 % 短くしましたか。
あるボールは、床に落ちると、落ちた高さの の高さまではね上がります。このボールをある高さから床に落としたところ、1 回目にはね上がった高さと 2 回目にはね上がった高さの差は 36 cm でした。ボールを落としてから、床に 3 回目に着くまでに、ボールが上下に動いた道のりの合計は何 cm ですか。
ある町の人口は、おととしから去年にかけて 2 割増え、去年から今年にかけて 1 割 5 分減りました。その結果、今年の人口はおととしの人口より 360 人多くなりました。去年の人口は何人ですか。
あるボールを床から真上のある高さのところで静かにはなすと、ボールは床ではね返り、はなした(または落ちてきた)高さの の高さまで真上にはね上がります。はね上がったボールは、そのまま真下に落ちてまた床ではね返り、これをくり返します。
このボールをある高さからはなしたところ、はなしてから床に 3 回目に当たるまでに、ボールが上下に動いた道のりの合計は 730 cm でした。はじめにボールをはなした高さは何 cm ですか。
この技能の次に学べること
- 百分率と歩合 (算数 割合と比)
- 相当算 (算数 割合と比)
- 確率の意味と求め方 (中学数学 場合の数と確率)
- 標本調査と母集団の推定 (中学数学 データの活用)
- 相対度数と累積度数 (中学数学 データの活用)