分数のたし算・ひき算

通分して、帯分数をふくむ分数のたし算・ひき算（例: $2 \frac{1}{3} - \frac{5}{6}$ ）を計算し、答えを約分できる

前提

中学までに習ったことだけで始められます。

説明

分母のちがう分数どうしや、帯分数（ $2 \frac{1}{3}$ のように整数と分数を合わせた数）をふくむ分数のたし算・ひき算ができるようになります。「 $\frac{1}{2}$ L と $\frac{1}{3}$ L を合わせると何 L か」「 $2 \frac{1}{3}$ m から $\frac{5}{6}$ m 切り取ると残りは何 m か」のように、分数で表された量を合わせたり、ちがいを求めたりするときに使います。答えはできるだけ簡単な分数（約分した形）で表します。

なぜそうしてよいのか

分数 $\frac{1}{6}$ は「1 を 6 等分した 1 こ分」、 $\frac{5}{6}$ は「その 5 こ分」です。分母が同じなら、同じ大きさのかたまりがいくつあるかを数えればよいので、分子どうしをたしたりひいたりできます（ $\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$ ）。分母はかたまりの大きさを表しているので、たしたりひいたりしません。

分母がちがうと、かたまりの大きさがちがうので、そのままでは数えられません。そこで「分母と分子に同じ数をかけても、分数の大きさは変わらない」ことを使います。たとえば 1 を 3 等分した 1 こ分（ $\frac{1}{3}$ ）は、それぞれをさらに 2 等分すると、1 を 6 等分した 2 こ分（ $\frac{2}{6}$ ）と同じ大きさです。こうして分母をそろえることを通分といいます。そろえる分母には、どちらの分母にも整数をかけて作れる数を使います。ある数に 1, 2, 3, … をかけてできる数をその数の倍数といい、たとえば 3 の倍数は 3, 6, 9, 12, …、6 の倍数は 6, 12, 18, … です。両方に出てくる数（6, 12, …）を公倍数といい、そのうちいちばん小さいもの（ここでは 6）を最小公倍数といいます。最小公倍数は、両方の倍数を小さいほうから書き出して、最初に同じ数が出てきたところで見つけられます。ふつうは最小公倍数を共通の分母にします。

反対に、分母と分子を同じ数でわっても大きさは変わりません。ある数をわり切ることのできる整数を、その数の約数といいます。たとえば 3 の約数は 1, 3、6 の約数は 1, 2, 3, 6 です。両方の約数になっている数（ここでは 1 と 3）を共通の約数（公約数）といいます。 $\frac{3}{6}$ の分母 6 と分子 3 はどちらも 3 でわり切れるので、3 でわると $\frac{1}{2}$ になります。このように分母と分子を、1 より大きい共通の約数でわって簡単にすることを約分といいます。共通の約数は、九九を思い出して「分母も分子も 2 の段（3 の段、…）に出てくるか」を調べると見つかります。わったあとにまだ共通の約数があれば、さらにわります。帯分数 $2 \frac{1}{3}$ は「 $2$ と $\frac{1}{3}$ 」なので、整数の部分と分数の部分に分けて計算できます。分数の部分がひけないときは、整数の部分から 1 をくり下げて、 $1 = \frac{3}{3}$ のように分数になおします。

手順

両方の分母の倍数を小さいほうから書き出し、最初に同じになる数（最小公倍数）を見つける（例: 3 の倍数 3, 6, 9, … と 6 の倍数 6, 12, … で、最初に同じになるのは 6）
最小公倍数を共通の分母にして、それぞれの分母と分子に同じ数をかけて通分する（例: $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$ ）
帯分数は整数の部分と分数の部分に分けて考える。ひき算で分数の部分がひけないときは、整数の部分から 1 をくり下げて分数の部分にたす（例: $2 \frac{2}{6} = 1 \frac{8}{6}$ ）
整数の部分どうし、分数の部分どうし（分子どうし）をたす・ひく。分母はそのままにする。分数の部分が仮分数（分子が分母以上）になったら、整数の部分にくり上げる（例: $1 \frac{7}{6} = 2 \frac{1}{6}$ ）
分母と分子の両方をわり切れる 1 より大きい数（共通の約数）をさがし、その数でわって約分する。共通の約数がなくなるまでくり返す（例: 3 と 6 はどちらも 3 でわり切れるので $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ）

例題

$3 \frac{1}{6} - 1 \frac{2}{3}$ を計算しなさい。答えは帯分数で、できるだけ約分して答えなさい。

例題の解答

【手順 1】分母は 6 と 3 です。6 の倍数は 6, 12, 18, …、3 の倍数は 3, 6, 9, … なので、最初に同じになる数（最小公倍数）は 6 です。

【手順 2】 $\frac{2}{3}$ の分母と分子に 2 をかけて $\frac{4}{6}$ にします。式は $3 \frac{1}{6} - 1 \frac{4}{6}$ になります。

【手順 3】分数の部分は $\frac{1}{6}$ から $\frac{4}{6}$ をひけないので、 $3$ から 1 をくり下げます。 $1 = \frac{6}{6}$ なので、 $3 \frac{1}{6} = 2 \frac{7}{6}$ です。式は $2 \frac{7}{6} - 1 \frac{4}{6}$ になります。

【手順 4】整数の部分は $2 - 1 = 1$ 、分数の部分は $\frac{7}{6} - \frac{4}{6} = \frac{3}{6}$ です。合わせて $1 \frac{3}{6}$ です。 $\frac{3}{6}$ は仮分数ではないので、くり上げはありません。

【手順 5】分子 3 と分母 6 はどちらも 3 でわり切れる（3 は 3 の段の $3 \times 1$ 、6 は $3 \times 2$ ）ので、3 でわって $\frac{1}{2}$ にします。1 と 2 には 1 より大きい共通の約数はないので、これで終わりです。

答え: $1 \frac{1}{2}$

よくある誤り

分母どうしもたしてしまう誤り（ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ とする）。正しくは通分して $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
通分のとき分母だけを変えて分子を変えない誤り（ $\frac{2}{3} = \frac{2}{6}$ とする）。正しくは分母と分子の両方に 2 をかけて $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$
約分を忘れる誤り（ $3 \frac{1}{6} - 1 \frac{2}{3}$ の答えを $1 \frac{3}{6}$ のままにする）。正しくは分母と分子を 3 でわって $1 \frac{1}{2}$
約分をとちゅうでやめる誤り（ $\frac{6}{12}$ を 2 でわって $\frac{3}{6}$ で止める）。正しくは $\frac{3}{6}$ もまだ 3 でわれるので、さらにわって $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ （はじめから 6 でわってもよい）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の計算をしなさい。答えは、できるだけ約分した分数で答えなさい。
$\frac{1}{4} + \frac{5}{12}$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

単位格子中の原子の数と配位数（高校化学物質の構成と化学結合）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
組に分けてならんだ数（群数列）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）