組に分けてならんだ数（群数列）

分母ごとなどの組に区切って、何番目の数が何組目の何番目かを求め、組ごとの和を使って $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ のような列の最初から □ 番目までの和を求められる

前提

等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）

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算数中学高校大学大学院

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四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）

説明

きまりにしたがってならんだ数の列を、同じしくみのかたまり（組）に区切って考える方法です。たとえば $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \dots$ のような列を分母ごとの組に分けると、「はじめから何番目の数は何組目の何番目か」がわかり、その数そのものや、最初からその数までの和が求められます。数がずらりとならんで一つずつ数えるのが大変な問題で使います。

なぜそうしてよいのか

$\frac{1}{2} ∣ \frac{1}{3}, \frac{2}{3} ∣ \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4} ∣ \frac{1}{5}, \dots$ のように分母が変わるところで区切ると、1 組目には 1 こ、2 組目には 2 こ、3 組目には 3 こ、…と、組の番号と同じ数だけ数が入っています。すると、1 組目からある組の終わりまでにある数の個数は「1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋（その組の番号）」で、これは等間隔にならんだ数の和なので（はじめの数＋おわりの数）× 個数 ÷ 2 ですぐ求められます。たとえば 5 組目の終わりまでで $(1 + 5) \times 5 \div 2 = 15$ こです。これを使うと、はじめから数えて何番目の数が何組目に入るかを、「個数の合計がはじめてその番目以上になる組」をさがして決められます。

組の中の和も、きまりを使うと簡単です。分母が 6 の組（5 組目）は $\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \dots + \frac{5}{6}$ で、分母が同じなので分子だけをたして $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$ です。同じように計算すると、組の和は 1 組目から順に $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}, \frac{5}{2}, \dots$ となり、どの組でも「組の和＝（組の番号）÷ 2」です。これは、分子の和 1 ＋ 2 ＋ … ＋（組の番号）が（1 ＋組の番号）×（組の番号）÷ 2 で、1 ＋組の番号はちょうどその組の分母なので、分母で割ると（組の番号）÷ 2 が残るからです。この組の和もまた等間隔にならぶので、何組分かまとめた和も（はじめ＋おわり）× 個数 ÷ 2 で求められます。最後に、とちゅうまでしか入っていない組の分をたせば、最初から求めたい番目までの和になります。

手順

列を、きまりが変わるところ（分母が変わるところなど）で組に区切り、それぞれの組にいくつの数が入るか、組の数がどんな形か（分母がいくつか、分子がどうならぶか）を調べる
1 組目から順に個数をたしていき（等間隔の数の和を使う）、求めたい番目の数が何組目に入るかを決める（例: 5 組目の終わりまでで 15 こ、6 組目の終わりまでで 21 こなら、20 番目は 6 組目）
その組の中で何番目かを求める（例: $20 - 15 = 5$ で 6 組目の 5 番目）。その数が何かもわかる
1 組ずつの和を求めて、組の和のならび方のきまりを見つける（例: 組の和は $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \dots$ で、（組の番号）÷ 2）
全部入っている組の和をまとめて求め、とちゅうまでの組の分をたして、全体の和を出す

例題

次のように、分数がきまりにしたがって約分しないでならんでいます。
$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \dots$
はじめから 20 番目までの数をすべてたすといくつですか。帯分数で答えなさい。

例題の解答

【手順 1】分母ごとに区切ると、1 組目は分母 2 の数が 1 こ、2 組目は分母 3 の数が 2 こ、3 組目は分母 4 の数が 3 こ、…と、どの組も「分母は組の番号＋ 1」「数の個数は組の番号と同じ」で、分子は 1 から順にならびます。

【手順 2】5 組目の終わりまでの個数は $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (1 + 5) \times 5 \div 2 = 15$ こです。6 組目の終わりまでは $15 + 6 = 21$ こなので、20 番目は 6 組目に入ります。

【手順 3】 $20 - 15 = 5$ なので、20 番目は 6 組目（分母 7）の 5 番目、つまり $\frac{5}{7}$ です。

【手順 4】1 組目の和は $\frac{1}{2}$ 、2 組目は $\frac{1 + 2}{3} = 1 = \frac{2}{2}$ 、3 組目は $\frac{1 + 2 + 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ 、4 組目は $\frac{10}{5} = 2 = \frac{4}{2}$ 、5 組目は $\frac{15}{6} = \frac{5}{2}$ です。組の和は（組の番号）÷ 2 になっています。

【手順 5】1 組目から 5 組目までの和は $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{2} = \frac{15}{2}$ です。6 組目の 5 番目までの和は $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{7} = \frac{15}{7}$ です。合わせて
$\frac{15}{2} + \frac{15}{7} = \frac{105}{14} + \frac{30}{14} = \frac{135}{14} = 9 \frac{9}{14}$

答え: $9 \frac{9}{14}$

よくある誤り

組の番号と分母を取りちがえる誤り（6 組目の数の分母を 6 として、20 番目を $\frac{5}{6}$ とする）。正しくはこの列では分母は組の番号＋ 1 なので、6 組目の 5 番目は $\frac{5}{7}$
何組目かを決めるとき、組の個数の合計ではなく組の数で考えてしまう誤り（20 番目を 20 組目とする）。正しくは個数の合計 $1 + 2 + \dots + 5 = 15$ 、 $15 + 6 = 21$ から、20 番目は 6 組目
とちゅうまでの組の分をたし忘れる、または組全体をたしてしまう誤り（20 番目までの和を $\frac{15}{2}$ や $\frac{15}{2} + \frac{21}{7}$ とする）。正しくは 6 組目は 5 番目までなので $\frac{15}{2} + \frac{15}{7}$
約分した形で考えて、組の個数をまちがえる誤り（ $\frac{2}{4}$ は約分すると $\frac{1}{2}$ で、もう出てきた数と同じだからと数えず、3 組目 $\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}$ を 2 こ、5 組目までを $15$ こより少なく数える）。正しくは、値が同じでも列には別の数としてならんでいるので、約分しない形のまま 3 組目は 3 こと数え、5 組目の終わりまでで $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ こ

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次のように、あるきまりにしたがって数がならんでいます。
$1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, \dots$
この数の列は、 $1$ 組目が $1$ 、 $2$ 組目が $1, 2$ 、 $3$ 組目が $1, 2, 3$ 、……のように組に分かれていて、各組には $1$ から組の番号と同じ数までの整数が小さい順にならんでいます。最初の数から $30$ 番目の数までの和を求めなさい。

この技能を使う問題

難易度 4（中学入試の標準レベル）
次のように、ある規則にしたがって分数が約分しないでならんでいます。
$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \dots$
分母が $2$ の分数、分母が $3$ の分数、分母が $4$ の分数、……の順に、それぞれの分母について分子が $1$ から（分母より $1$ 小さい数）まで $1$ ずつ増えるようにならんでいます。
最初から数えて $50$ 番目までの分数をすべてたすと、いくつになりますか。答えは分数で答えなさい。