計算と数のきまりの問題

分母が同じ分数を 1 つの組にして考えます。

各組の個数
分母が $2$ の組は $1$ 個、分母が $3$ の組は $2$ 個、分母が $4$ の組は $3$ 個、……のように、分母が $\square$ の組には（$\square$ より $1$ 小さい数）個の分数があります。

分母が $2$ から $10$ までの組の個数の合計は
$$1+2+3+\cdots +9=45\text{（個）}$$
なので、$45$ 番目までで分母 $10$ の組が終わります。$46$ 番目から $50$ 番目までの $5$ 個は、分母が $11$ の組の
$$\frac{1}{11},\frac{2}{11},\frac{3}{11},\frac{4}{11},\frac{5}{11}$$
です。

各組の和
分母が $2$ の組の和は $\frac{1}{2}$、分母が $3$ の組の和は $\frac{1+2}{3}=1$、分母が $4$ の組の和は $\frac{1+2+3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$、分母が $5$ の組の和は $\frac{1+2+3+4}{5}=2$、……となり、組の和は
$$\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{3}{2},\frac{4}{2},\cdots$$
と $\frac{1}{2}$ ずつ増えます。分母が $10$ の組の和は $\frac{1+2+\cdots +9}{10}=\frac{45}{10}=\frac{9}{2}$ です。

よって、分母 $2$ から $10$ までの組の和の合計は
$$\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\cdots +\frac{9}{2}=\frac{1+2+\cdots +9}{2}=\frac{45}{2}$$

残りの 5 個の和
$$\frac{1+2+3+4+5}{11}=\frac{15}{11}$$

合計
$$\frac{45}{2}+\frac{15}{11}=\frac{495}{22}+\frac{30}{22}=\frac{525}{22}$$

答えは $\frac{525}{22}$（$23\frac{19}{22}$）です。

分母が $2,3,4,\cdots$ の分数は、それぞれ $1$ 個、$2$ 個、$3$ 個、$\cdots$ ある。
分母が $10$ までの個数は $1+2+\cdots +9=45$ 個。$50-45=5$ なので、$50$ 番目までは「分母が $10$ までの分数すべて」と「分母が $11$ の分数の最初の $5$ 個」である。
分母が同じ分数の和は、たとえば分母 $5$ なら $\frac{1+2+3+4}{5}=2$ のように、分母 $2$ から順に $\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\cdots$ と $\frac{1}{2}$ ずつ増える（分母 $10$ のときは $\frac{9}{2}$）。
これらの和は $\frac{1+2+\cdots +9}{2}=\frac{45}{2}$。
分母 $11$ の最初の $5$ 個の和は $\frac{1+2+3+4+5}{11}=\frac{15}{11}$。
合計は $\frac{45}{2}+\frac{15}{11}=\frac{495}{22}+\frac{30}{22}=\frac{525}{22}$。
検算: 約 $22.5+1.364=23.864$、$\frac{525}{22}\fallingdotseq 23.864$ で一致。