計算と数のきまりの問題

となりあう 2 つの整数の積を分母とする分数は、2 つの分数の差に分けられます。たとえば
$$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}=\frac{1}{2\times 3}$$
$$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}=\frac{1}{3\times 4}$$
となります。同じように、
$$\frac{1}{4\times 5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5},\cdots ,\frac{1}{11\times 12}=\frac{1}{11}-\frac{1}{12}$$
です。

これを使って式を書きかえると、
$$\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{11}-\frac{1}{12}\right)$$

$-\frac{1}{3}$ と $+\frac{1}{3}$、$-\frac{1}{4}$ と $+\frac{1}{4}$、…、$-\frac{1}{11}$ と $+\frac{1}{11}$ がそれぞれ打ち消しあうので、最初の $\frac{1}{2}$ と最後の $\frac{1}{12}$ だけが残ります。
$$\frac{1}{2}-\frac{1}{12}=\frac{6}{12}-\frac{1}{12}=\frac{5}{12}$$

答えは $\frac{5}{12}$ です。

連続する 2 つの整数のかけ算の分数は、$\frac{1}{2\times 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$、$\frac{1}{3\times 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ のように 2 つの分数の差に分けられます（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$ で確認できます）。すべてこのように分けると、$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots +(\frac{1}{11}-\frac{1}{12})$ となり、間の分数はすべて消えて $\frac{1}{2}-\frac{1}{12}=\frac{6}{12}-\frac{1}{12}=\frac{5}{12}$ です。検算：項は 2×3 から 11×12 までの 10 個。$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}=\frac{10+5+3}{60}=\frac{18}{60}=\frac{3}{10}$ は $\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{10}$ と一致し、同じ考え方で 10 個の和は $\frac{5}{12}$ です。