技能一覧 › 算数 計算と数のきまり

等間隔にならんだ数の和

一定の数ずつ増える数の列について、□ 番目の数と個数を求め、（はじめの数 ＋ おわりの数）× 個数 ÷ 2 で和（例: $1+3+5+\cdots +39$）を求められる

前提

• 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. はじめの数と、となりどうしの差（増える数）を調べる

2. おわりの数がわかっているときは、（おわりの数 − はじめの数）÷ 増える数 で間の数を求め、それに 1 をたして個数を求める

3. □ 番目の数を求めるときは、はじめの数 ＋ 増える数 ×（□ − 1）で計算する

4. 和を、（はじめの数 ＋ おわりの数）× 個数 ÷ 2 で計算する

例題

よくある誤り

• 個数を、間の数のまま使ってしまう誤り。$4,7,\dots ,61$ の個数を $(61-4)÷3=19$ こ としてはいけません。正しくは 1 をたして $19+1=20$ こです。

• □ 番目の数を、増える数 × □ だけ進めて求めてしまう誤り。$4,7,10,\dots$ の 20 番目を $4+3\times 20=64$ としてはいけません。1 番目から 20 番目までの間は 19 こなので、正しくは $4+3\times 19=61$ です。

• 最後の ÷ 2 を忘れてしまう誤り。$1+3+5+7+9$ を $(1+9)\times 5=50$ としてはいけません。これは同じ列を 2 回たした合計なので、正しくは $50÷2=25$ です。

• 個数の代わりに、おわりの数を使ってしまう誤り。$1+3+5+\cdots +39$ を $(1+39)\times 39÷2=780$ としてはいけません。個数は $(39-1)÷2+1=20$ こなので、正しくは $(1+39)\times 20÷2=400$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $2$ から $2$ ずつ増える数を $20$ までならべた、次の数の和を求めなさい。
  $$2+4+6+8+\cdots +20$$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  次のように、$3$ から始まって $4$ ずつ大きくなる整数が $20$ 個ならんでいます。
  $$3,7,11,15,\cdots$$
  この $20$ 個の整数をすべてたすと、いくつになりますか。

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  1 から 39 までの奇数をすべてたすと、いくつになりますか。$$1+3+5+7+\cdots +37+39$$

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  ある劇場の客席は、いちばん前の 1 列目に 12 席あり、2 列目からは、前の列より 3 席ずつ多くなっています。客席は 1 列目から 15 列目まであります。この劇場の客席は、全部で何席ありますか。

• 難易度 3（中学入試の基本レベル）

  次のように、ある規則にしたがって数がならんでいます。$$3,7,11,15,19,\cdots$$ 1 番目の数から 25 番目の数までをすべてたすと、いくつになりますか。

• 難易度 3（中学入試の基本レベル）

  100 から 300 までの整数のうち、7 の倍数をすべてたすと、いくつになりますか。

• 難易度 4（中学入試の標準レベル）

  次のように、ある規則にしたがって分数が約分しないでならんでいます。
  $$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\cdots$$
  分母が $2$ の分数、分母が $3$ の分数、分母が $4$ の分数、……の順に、それぞれの分母について分子が $1$ から（分母より $1$ 小さい数）まで $1$ ずつ増えるようにならんでいます。
  最初から数えて $50$ 番目までの分数をすべてたすと、いくつになりますか。答えは分数で答えなさい。

この技能の次に学べること

• 等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
• 組に分けてならんだ数（群数列） （算数 計算と数のきまり）