この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

計算と数のきまりの問題

難易度 1教科書の例題レベル算数計算と数のきまり

次のように、あるきまりにしたがって数がならんでいます。
$1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, \dots$
この数の列は、 $1$ 組目が $1$ 、 $2$ 組目が $1, 2$ 、 $3$ 組目が $1, 2, 3$ 、……のように組に分かれていて、各組には $1$ から組の番号と同じ数までの整数が小さい順にならんでいます。最初の数から $30$ 番目の数までの和を求めなさい。

この問題で使うもの

組に分けてならんだ数（群数列）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$1$ が出てくるところで区切って組に分け、 $30$ 番目の数が何組目の何番目かを調べます。

ヒント 2

どの組にも、組の番号と同じ個数の数があります。 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$ なので、 $7$ 組目までで $28$ 個の数がならんでいます。

ヒント 3

$30$ 番目の数は $8$ 組目の $2$ 番目です。 $7$ 組目までの和は $1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28$ です。これに $8$ 組目の最初の $2$ つの数の和をたしましょう。

答えと解説

答えを見る

87

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$1$ が出てくるところで区切って組に分け、 $30$ 番目の数が何組目の何番目かを調べます。そのあと、組ごとの和を使って全体の和を求めます。

$(1)$ 組に区切る
$(1), (1, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 3, 4), \dots$
どの組にも、組の番号と同じ個数の数がならんでいます。たとえば $3$ 組目には $3$ 個、 $4$ 組目には $4$ 個です。

$(2)$ $30$ 番目の数が何組目の何番目かを調べる

$1$ 組目から $7$ 組目までの数の個数は
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 （個）$
です。 $8$ 組目まで入れると $28 + 8 = 36$ 個になり $30$ をこえるので、 $30$ 番目の数は $8$ 組目に入っています。 $30 - 28 = 2$ なので、 $30$ 番目の数は $8$ 組目の $2$ 番目です。

$(3)$ 組ごとの和を求める

$1$ 組目: $1$
$2$ 組目: $1 + 2 = 3$
$3$ 組目: $1 + 2 + 3 = 6$
$4$ 組目: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$
$5$ 組目: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$
$6$ 組目: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$
$7$ 組目: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$

$1$ 組目から $7$ 組目までの和は
$1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 = 84$

$(4)$ 残りをたす

$8$ 組目の $1$ 番目から $2$ 番目までは $1, 2$ なので、その和は $1 + 2 = 3$ です。

よって、最初から $30$ 番目までの和は
$84 + 3 = 87$

答えは $87$ です。

別解

各組の数の個数は、1組目から順に 1, 2, 3, ……個です。1組目から7組目までの個数の合計は 1+2+3+4+5+6+7=28(個)なので、29番目と30番目は8組目の最初の2つ、つまり 1 と 2 です。
各組の和は、1組目が 1、2組目が 1+2=3、3組目が 6、4組目が 10、5組目が 15、6組目が 21、7組目が 28 です。
7組目までの和は 1+3+6+10+15+21+28=84。
29番目と30番目の和は 1+2=3。
よって 84+3=87。
検算: 7組目までの和は、(1+2+…+n)の和として 1+3+6+10+15+21+28 を順に足すと 1,4,10,20,35,56,84 となり一致する。

計算と数のきまりの問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題