立体図形の問題

難易度 3中学入試の基本レベル算数立体図形

密閉された容器があります。この容器は、内側の長さがたて 20 cm、横 20 cm、高さ 10 cm の直方体の部分 A と、内側の長さがたて 10 cm、横 10 cm、高さ 20 cm の直方体の部分 B からできています。部分 B は、部分 A の上の面の真ん中から真上にのびるようにつながっていて、容器の中は 1 つの空間になっています。

この容器を、部分 A を下にして水平な台の上に置いたところ、容器の底から水面までの高さは 15 cm でした。

この容器を上下逆さまにして、部分 B を下にして水平な台の上に置くと、容器の底から水面までの高さは何 cm になりますか。分数で答えなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

20 cm20 cm10 cm10 cm10 cm20 cm15 cmAB

この問題で使うもの

容器の水の深さ（説明と入口の問題）
直方体・立方体の体積（説明と入口の問題）
分数のたし算・ひき算（説明と入口の問題）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

容器を逆さまにしても、水の量は変わりません。まず、部分 A を下にしたときの水の量を、部分 A と部分 B に分けて求めましょう。

ヒント 2

逆さまにすると部分 B が下になります。部分 B に入る水の量（ $10 \times 10 \times 20$ cm³）と、全体の水の量をくらべましょう。

ヒント 3

水の量は 4500 cm³ です。部分 B に 2000 cm³ 入るので、残りの 2500 cm³ が底面積 400 cm² の部分 A に入ります。

答えと解説

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\frac{105}{4}

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解説を読む

容器を逆さまにしても、水の量は変わりません。

水の量

部分 A を下にしたとき、水面の高さは 15 cm です。部分 A の高さは 10 cm なので、部分 A は水でいっぱいで、部分 B には底から $15 - 10 = 5$ (cm) の深さまで水が入っています。

部分 A の水: $20 \times 20 \times 10 = 4000$ (cm³)
部分 B の水: $10 \times 10 \times 5 = 500$ (cm³)

水の量は $4000 + 500 = 4500$ (cm³) です。

逆さまにしたとき

今度は部分 B が下になります。部分 B に入る水の量は

$10 \times 10 \times 20 = 2000 (cm^{3})$

で、水は 4500 cm³ あるので、部分 B は水でいっぱいになり、残りの

$4500 - 2000 = 2500 (cm^{3})$

が部分 A に入ります。部分 A の底面積は $20 \times 20 = 400$ (cm²) なので、部分 A の中の水の深さは

$2500 \div 400 = \frac{25}{4} (cm)$

です。これは部分 A の高さ 10 cm より小さいので、水は部分 A の途中までです。

よって、容器の底から水面までの高さは

$20 + \frac{25}{4} = \frac{105}{4} (cm)$

答え: $\frac{105}{4}$ cm

別解

部分 A を下にしたとき、水の体積を求める。部分 A（高さ 10 cm、底面積 $20 \times 20 = 400$ cm²）は水でいっぱいで $400 \times 10 = 4000$ cm³。水面の高さ 15 cm なので、部分 B の中の水の高さは $15 - 10 = 5$ cm。部分 B の底面積は $10 \times 10 = 100$ cm² なので $100 \times 5 = 500$ cm³。水の体積は $4000 + 500 = 4500$ cm³。
上下逆さまにすると、部分 B が下。部分 B の体積は $100 \times 20 = 2000$ cm³ で、水 4500 cm³ のほうが多いので、B はいっぱいになり、残りの $4500 - 2000 = 2500$ cm³ が部分 A に入る。部分 A の底面積は 400 cm² なので、その深さは $2500 \div 400 = 6.25$ cm（部分 A の高さ 10 cm より低いので A からあふれない）。
水面の高さは $20 + 6.25 = 26.25 = \frac{105}{4}$ cm。
検算: $2000 + 400 \times 6.25 = 2000 + 2500 = 4500$ 。

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