立体図形の問題
内側の長さが、たて 20 cm、横 15 cm、高さ 30 cm の直方体の形をした水そうに、深さ 12 cm まで水が入っています。
この水そうに、底面がたて 10 cm、横 6 cm の長方形で、高さが 20 cm の直方体の鉄の棒を、底面を水そうの底につけてまっすぐに立てて入れました。
次に、この鉄の棒を、まっすぐに立てたまま 4 cm だけ真上に引き上げました。このとき、水の深さは何 cm になりますか。ただし、水そうの厚さは考えないものとします。
この問題で使うもの
- 物を沈めたときの水の深さ（説明と入口の問題）
- 直方体・立方体の体積（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（3 技能）
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ヒント
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ヒント 1
水の量は、鉄の棒を入れても、引き上げても変わりません。まず水の量を求めましょう。
ヒント 2
鉄の棒を引き上げると、底から 4 cm までは鉄の棒がないので底面全体 (300 cm²) に水が入り、その上は鉄の棒の分をのぞいた面積 ( cm²) に水が入ります。
ヒント 3
水の量は 3600 cm³、底から 4 cm までに入る水は (cm³) です。残りの 2400 cm³ が面積 240 cm² の部分に入ると考えましょう。
答えと解説
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解説を読む
水の量は、鉄の棒を入れても引き上げても変わりません。
水の量
水そうの底面積と、鉄の棒があるところの水の面の面積
水そうの底面積は (cm²)、鉄の棒の底面積は (cm²) です。鉄の棒がある高さでは、水が入る部分の面積は (cm²) になります。
鉄の棒を 4 cm 引き上げたとき
鉄の棒の下の面は、水そうの底から 4 cm の高さにあります。
- 底から 4 cm までの部分には鉄の棒がないので、面積 300 cm² の部分に水が入ります。その水の量は (cm³) です。
- 残りの水は (cm³) です。これが、鉄の棒のまわりの面積 240 cm² の部分に入るので、その深さは (cm) です。
よって、水の深さは (cm) です。
鉄の棒の上の面は底から (cm) の高さにあり、水面 (14 cm) より上に出ているので、この考え方で正しく求められています。また、水そうの高さ 30 cm より低いので、水はあふれません。
答え: 14 cm
別解
水の体積は cm³。
鉄の棒を入れたとき、棒の底面積は cm²。水が入る底の面積は cm²。深さは cm（棒の高さ 20 cm より低いので棒は水から出ている）。
4 cm 引き上げると、棒の下に 4 cm のすきまができる。このすきまの部分は、水が入る面積が cm² で、体積は cm³。
のこりの水 cm³ は、棒があるところ（面積 cm²）に入るので、その深さは cm。
水の深さは cm。棒の下はしは 4 cm、上はしは 24 cm なので、14 cm は棒の高さの範囲に入っていて矛盾しない。
検算: 。