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物を沈めたときの水の深さ

水の中に直方体や立方体を沈めたとき、水が入る部分の底面積（容器の底面積 − 物の底面積）を使ったり、物が水面から出るかどうかを確かめたりして、水の深さを求められる

前提

この技能までの道筋（2 技能）
算数中学高校大学大学院

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一覧で見る（前提が先）
  1. 直方体・立方体の体積 （算数 立体図形）
  2. 容器の水の深さ （算数 立体図形）

説明

水の入った直方体の水そうに、直方体や立方体のおもりを入れて底につけると、水面が上がります。このときの水の深さを、「水が入れる部分の底面積（水そうの底面積 − おもりの底面積）」を使って求めます。おもりが水面から上に出るか、水の中に全部しずむかで考え方が変わるので、それも確かめられるようにします。

なぜそうしてよいのか

おもりを入れても、水の量（体積）は変わりません。変わるのは、水が入ることのできる場所の形です。

おもりの頭が水面から出ているとき、水面より下では、水そうの底のうち、おもりがある部分には水が入れません。上から見ると、水は「水そうの底面からおもりの底面をのぞいた部分」の上に、同じ深さで広がっています。だから、水の体積 = （水そうの底面積 − おもりの底面積）× 深さ となり、深さ = 水の体積 ÷ （水そうの底面積 − おもりの底面積） で求められます。

この計算で出た深さがおもりの高さより高くなってしまったら、おもりは水の中に全部しずんでいるということなので、この考え方は使えません。そのときは、「水とおもりを合わせた体積」が水そうの底面積の上に広がっていると考えて、深さ = （水の体積 + おもりの体積）÷ 水そうの底面積 で求めます。どちらになるかは、まずおもりが出ていると考えて計算し、出た深さをおもりの高さと比べて確かめます。

手順

  1. 水の体積を求める（水そうの底面積 × もとの深さ。L で書かれていれば cm³ に直す）

  2. おもりが水面から出ていると考え、水が入る部分の底面積 = 水そうの底面積 − おもりの底面積 を求める

  3. 深さ = 水の体積 ÷ 水が入る部分の底面積 を計算する

  4. 出た深さがおもりの高さ以下なら、それが答え。おもりの高さより高くなったら、おもりは全部しずむので、深さ = （水の体積 + おもりの体積）÷ 水そうの底面積 で求め直す

  5. 求めた深さが水そうの高さをこえていないか（あふれないか）確かめる

例題

内側のたてが 20 cm、横が 25 cm、高さが 30 cm の直方体の水そうに、深さ 8 cm まで水が入っています。この水そうに、底面がたて 10 cm、横 10 cm の正方形で、高さが 15 cm の直方体のおもりを、底面を水そうの底にぴったりつけてまっすぐ立てて入れました。水の深さは何 cm になりますか。

例題の解答

手順 1: 水の体積は (cm³) です。

手順 2: おもりが水面から出ていると考えます。水そうの底面積は (cm²)、おもりの底面積は (cm²) なので、水が入る部分の底面積は (cm²) です。

手順 3: 深さは (cm) です。

手順 4: 10 cm はおもりの高さ 15 cm より低いので、おもりは水面から出ていて、この考え方で正しいです。

手順 5: 10 cm は水そうの高さ 30 cm より低いので、水はあふれません。水の深さは 10 cm です。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題