立体図形の問題

難易度 4中学入試の標準レベル算数立体図形

内側の長さが、たて $30$ cm、横 $40$ cm、深さ $50$ cm の直方体の形をした容器が水平な台の上に置いてあり、深さ $20$ cm まで水が入っています。

この容器の底に、 $1$ 辺が $20$ cm の鉄の立方体を、 $1$ つの面が底にぴったりつくように入れました。このとき、水の深さは何 cm になりますか。答えが整数にならないときは、帯分数ではなく仮分数で答えなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとし、鉄の立方体は水にうかないものとします。

40 cm30 cm50 cm20 cm20 cm

左: 立方体を入れる前の容器　右: 鉄の立方体

この問題で使うもの

物を沈めたときの水の深さ（説明と入口の問題）
直方体・立方体の体積（説明と入口の問題）
分数のたし算・ひき算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

立方体を入れても水の体積は変わりません。まず、水が立方体の高さ $20$ cm より上まで来るかどうかを調べましょう。

ヒント 2

底から $20$ cm までの部分で水が入る底面積は「容器の底面積 $-$ 立方体の底面積」です。その部分に入る水の量と、水全体の量をくらべましょう。

ヒント 3

底から $20$ cm までに入る水は $16000 cm^{3}$ で、水全体は $24000 cm^{3}$ です。残りの水は容器の底面全体に広がります。

答えと解説

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\frac{80}{3}

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解説を読む

水の体積
はじめに入っている水の体積は
$30 \times 40 \times 20 = 24000 (cm^{3})$
です。立方体を入れても、水の体積は変わりません。

水が立方体の上まで来るかどうか調べる
容器の底面積は $30 \times 40 = 1200 (cm^{2})$ 、立方体の底面積は $20 \times 20 = 400 (cm^{2})$ です。立方体の高さ $20$ cm までの部分で水が入るところの底面積は
$1200 - 400 = 800 (cm^{2})$
なので、底から $20$ cm の高さまでに入る水の量は
$800 \times 20 = 16000 (cm^{3})$
です。水は $24000 cm^{3}$ あり、 $16000 cm^{3}$ より多いので、水は立方体の上の面より高いところまで来ます。

立方体より上の部分の水
立方体より上に来る水の体積は
$24000 - 16000 = 8000 (cm^{3})$
です。立方体より上の部分では、水は容器の底面全体 $1200 cm^{2}$ に広がるので、その深さは
$8000 \div 1200 = \frac{20}{3} (cm)$
です。

水の深さ
$20 + \frac{20}{3} = \frac{60}{3} + \frac{20}{3} = \frac{80}{3} (cm)$
これは容器の深さ $50$ cm より低いので、水はあふれません。

（確かめ）立方体が全部水にしずんでいるので、「水の体積 $+$ 立方体の体積」が、底面積 $1200 cm^{2}$ で深さ $\frac{80}{3}$ cm の部分の体積になるはずです。 $24000 + 20 \times 20 \times 20 = 32000$ 、 $32000 \div 1200 = \frac{80}{3}$ となり、同じ答えになります。

答えは $\frac{80}{3}$ cm です。

別解

容器の底面積は $30 \times 40 = 1200$ cm²。はじめの水の体積は $1200 \times 20 = 24000$ cm³ です。

鉄の立方体の底面積は $20 \times 20 = 400$ cm²、高さは $20$ cm です。

まず、水の深さが $20$ cm 以下だと仮定します。水が入る底面積は $1200 - 400 = 800$ cm² なので、水の深さは $24000 \div 800 = 30$ cm となり、 $20$ cm をこえます。つまり立方体は完全に水の中にしずみます。

立方体がしずんでいるとき、水と立方体の体積の合計は $24000 + 20 \times 20 \times 20 = 24000 + 8000 = 32000$ cm³。これが底面積 $1200$ cm² の容器に入るので、水の深さは
$32000 \div 1200 = \frac{80}{3}$ cm。

これは立方体の高さ $20$ cm より高く（完全にしずむ）、容器の深さ $50$ cm より低いのでこぼれません。

検算: $1200 \times \frac{80}{3} = 32000$ cm³ から立方体 $8000$ cm³ を引くと $24000$ cm³ で、はじめの水の体積と一致します。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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