立体図形の問題

難易度 3中学入試の基本レベル算数立体図形

内側の長さが、たて 20 cm、横 30 cm、深さ 25 cm の直方体の形をした水そうが水平な床に置いてあり、深さ 10 cm まで水が入っています。

この水そうの底に、たて 10 cm、横 10 cm、高さ 15 cm の直方体の鉄のかたまりを、10 cm と 10 cm の正方形の面を下にしてまっすぐに立てて置きました。

水の深さは何 cm になりますか。

30 cm20 cm25 cm10 cm10 cm15 cm

この問題で使うもの

物を沈めたときの水の深さ（説明と入口の問題）
直方体・立方体の体積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（3 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

鉄のかたまりを入れても水の体積は変わりません。水が入れる部分の底面積がどう変わるかを考えましょう。

ヒント 2

鉄のかたまりが水面から出ているとき、水が入る部分の底面積は「水そうの底面積 $-$ 鉄のかたまりの底面積」です。

ヒント 3

水の体積は $600 \times 10 = 6000 (cm^{3})$ 、水が入る部分の底面積は $600 - 100 = 500 (cm^{2})$ です。わり算をしたあと、鉄のかたまりの高さと比べてたしかめましょう。

答えと解説

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水の体積

水そうの底面積は $20 \times 30 = 600 (cm^{2})$ なので、水の体積は
$600 \times 10 = 6000 (cm^{3})$
鉄のかたまりを入れても、水の体積は変わりません。

水が入る部分の底面積

鉄のかたまりの底面積は $10 \times 10 = 100 (cm^{2})$ です。鉄のかたまりが水面より上に出ているとすると、水は鉄のかたまりのまわりの部分にだけ入るので、水が入る部分の底面積は
$600 - 100 = 500 (cm^{2})$

水の深さ
$6000 \div 500 = 12 (cm)$

12 cm は鉄のかたまりの高さ 15 cm より低いので、「鉄のかたまりが水面より上に出ている」という考え方で正しいことがわかります。また、水そうの深さ 25 cm より低いので、水はあふれません。

答えは 12 cm です。

別解

水そうの底の面積は $20 \times 30 = 600$ cm²。はじめの水の体積は $600 \times 10 = 6000$ cm³。
鉄のかたまりの底面積は $10 \times 10 = 100$ cm²。水の深さが鉄のかたまりの高さ 15 cm 以下なら、水が入る底の面積は $600 - 100 = 500$ cm²。
水の深さは $6000 \div 500 = 12$ cm。12 cm は 15 cm より低いので、鉄のかたまりは水面から出ており、この考え方でよい。水そうの深さ 25 cm よりも低いので水はあふれない。
検算: $500 \times 12 = 6000$ cm³。

この問題の確認

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