立体図形の問題

難易度 3中学入試の基本レベル算数立体図形

内側の長さが、たて $20$ cm、横 $30$ cm、深さ $25$ cm の直方体の形をした容器があります。この容器を水平な台の上に置き、深さ $12$ cm まで水を入れました。

この容器の底に、たて $10$ cm、横 $15$ cm、高さ $20$ cm の鉄の直方体を、たて $10$ cm、横 $15$ cm の面が底にぴったりつくように、まっすぐ立てて入れます。このとき、水の深さは何 cm になりますか。ただし、容器の厚さは考えないものとし、鉄の直方体は水にうかないものとします。

30 cm20 cm25 cm15 cm10 cm20 cm12 cm

この問題で使うもの

物を沈めたときの水の深さ（説明と入口の問題）
直方体・立方体の体積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（3 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

鉄の直方体を入れても、水の体積は変わりません。まず水の体積を求めましょう。

ヒント 2

鉄の直方体があるところには水が入りません。水が入る部分の底面積は「容器の底面積 $-$ 鉄の直方体の底面積」です。

ヒント 3

水の体積は $7200 cm^{3}$ 、水が入る部分の底面積は $450 cm^{2}$ です。求めた深さが鉄の直方体の高さより低いかどうかも確かめましょう。

答えと解説

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解説を読む

水の体積
はじめに入っている水の体積は
$20 \times 30 \times 12 = 7200 (cm^{3})$
です。鉄の直方体を入れても、水の体積は変わりません。

水が入る部分の底面積
容器の底面積は $20 \times 30 = 600 (cm^{2})$ 、鉄の直方体の底面積は $10 \times 15 = 150 (cm^{2})$ です。
鉄の直方体の高さまでの部分では、水が入るのは、容器の底面積から鉄の直方体の底面積をひいた部分なので、その面積は
$600 - 150 = 450 (cm^{2})$
です。

水の深さ
水が鉄の直方体の高さ $20$ cm より低いところまでしか来ないとすると、水の深さは
$7200 \div 450 = 16 (cm)$
です。 $16$ cm は鉄の直方体の高さ $20$ cm より低く、容器の深さ $25$ cm よりも低いので、水はあふれず、この考え方で正しいことがわかります。

答えは $16$ cm です。

別解

はじめの水の体積は $20 \times 30 \times 12 = 7200$ cm³ です。

鉄の直方体の底面積は $10 \times 15 = 150$ cm²、高さは $20$ cm です。水の深さが $20$ cm 以下のとき、水が入る底面積は $20 \times 30 - 150 = 450$ cm² になります。

水の深さは $7200 \div 450 = 16$ cm。これは鉄の高さ $20$ cm より低く、容器の深さ $25$ cm 以内なので、この考え方でよいです。

検算: 水の体積 $= 450 \times 16 = 7200$ cm³ で、はじめと一致します。

この問題の確認

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