立体図形

たて 4 cm、横 5 cm、高さ 3 cm の直方体があります。この直方体の体積は何 cm³ ですか。

たて 2 cm、横 4 cm、高さ 3 cm の直方体があります。この直方体の表面積（6 つの面の面積の合計）は何 cm² ですか。

底面が、直角をはさむ 2 辺の長さが 4 cm と 3 cm の直角三角形で、高さが 5 cm の三角柱があります。この三角柱の体積は何 cm³ ですか。

底面の半径が 2 cm、高さが 5 cm の円柱があります。この円柱の表面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

内側の長さが、たて 20 cm、横 25 cm、深さ 30 cm の直方体の形をした、ふたのない水そうがあります。この水そうを水平な台の上に置き、空の状態から 6 L の水を入れました。

このとき、水の深さは何 cm ですか。ただし、1 L = 1000 cm³ とします。

1 辺の長さが 2 cm の立方体を 3 個使って、次のような立体を作りました。

• 床の上に 2 個の立方体を、左右にぴったりくっつけてならべる
• 左の立方体の真上に、もう 1 個の立方体をぴったり重ねる

この立体の表面積（床についている面もふくめた、外から見えるすべての面の面積の合計）は何 cm² ですか。

底面が 1 辺 6 cm の正方形で、高さが 5 cm の四角すいがあります。この四角すいの体積は何 cm³ ですか。

内側の長さが、たて 20 cm、横 25 cm、深さ 30 cm の直方体の形をした、ふたのない水そうが水平な台の上に置いてあり、深さ 12 cm まで水が入っています。

この水そうに、1 辺 10 cm の立方体の鉄のおもりを、底にしずめました。水はあふれませんでした。このとき、水の深さは何 cm になりますか。

1 辺の長さが 3 cm の立方体があります。この立方体の上の面の真ん中にある 1 辺 1 cm の正方形の部分から、下の面の真ん中にある 1 辺 1 cm の正方形の部分まで、まっすぐに（上の面に垂直に）くりぬいて、たて 1 cm、横 1 cm の四角い穴をあけました。穴の正方形の各辺は、立方体の辺と平行です。

くりぬいたあとの立体の表面積（穴の内側の面もふくむ）は何 cm² ですか。

直方体 ABCD-EFGH があります。上の面が長方形 ABCD、下の面が長方形 EFGH で、A の真下に E、B の真下に F、C の真下に G、D の真下に H があります。辺の長さは、AB = 6 cm、AD = 4 cm、AE = 5 cm です。

この直方体を、3 つの頂点 B, D, E を通る平面で切り、頂点 A をふくむ三角すいを切り取りました。残った立体の体積は何 cm³ ですか。

台形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいます。辺 AD と辺 BC は平行で、角 B は直角（90 度）です。また、AB = 3 cm、AD = 4 cm、BC = 7 cm で、辺 BC のほうが辺 AD より長い台形です。

この台形を、辺 BC をふくむ直線を軸として 1 回転させてできる立体の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。

$1$ 辺が $2$ cm の立方体 $6$ 個を、面と面がぴったり重なるようにくっつけて、次のような階段の形の立体を作りました。

• $1$ 段目: 床の上に、立方体 $3$ 個を左から右へ横一列にすきまなく並べる。
• $2$ 段目: $1$ 段目の左から $1$ 番目と $2$ 番目の立方体の真上に、それぞれ $1$ 個ずつ立方体をのせる。
• $3$ 段目: $2$ 段目の左の立方体の真上に、立方体を $1$ 個のせる。

どの段も、立方体は前後には $1$ 列だけ並んでいます。この立体の表面積は何 cm² ですか。ただし、床についている面も表面積にふくめます。

底面が直角三角形の三角柱があります。底面の直角三角形は、直角をはさむ $2$ つの辺の長さが $6$ cm と $8$ cm で、残りの辺の長さが $10$ cm です。また、この三角柱の高さは $12$ cm です。この三角柱の表面積は何 cm² ですか。

内側の長さが、たて 25 cm、横 40 cm、深さ 30 cm の直方体の形をした水そうがあります。この水そうを水平な床に置き、空の状態から水を 18 L 入れました。

水の深さは何 cm になりますか。

底面が台形で、高さが 8 cm の四角柱があります。底面の台形 ABCD は、辺 AD と辺 BC が平行で、AD = 4 cm、BC = 10 cm、AB = 5 cm、DC = 5 cm です。また、この台形の高さ（辺 AD と辺 BC の間のきょり）は 4 cm です。

この四角柱の表面積は何 cm² ですか。

1 辺が 6 cm の立方体があります。この立方体の 1 つの頂点を A とし、頂点 A に集まる 3 本の辺の、A ではないほうのはしの頂点を、それぞれ P、Q、R とします。

この立方体を、3 つの点 P、Q、R を通る平面で切って、2 つの立体に分けます。頂点 A をふくまないほうの立体の体積は何 cm³ ですか。

底面の円の半径が $3$ cm、高さが $8$ cm の円すいがあります。この円すいの体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。

底面の円の直径が 8 cm、高さが 5 cm の円柱があります。この円柱の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。

内側の長さが、たて 30 cm、横 40 cm、深さ 35 cm の直方体の形をした水そうが水平な床に置いてあり、深さ 8 cm まで水が入っています。

この水そうに、さらに 6 L の水を入れました。水の深さは何 cm になりますか。ただし、1 L は 1000 cm³ とします。

1 辺が 1 cm の立方体をすきまなく積み重ねて、たて 3 cm、横 5 cm、高さ 4 cm の直方体を作りました。

この直方体の右上の部分から、たて 3 cm、横 2 cm、高さ 2 cm の直方体の形になるように立方体を取りのぞきました。取りのぞいた部分は、もとの直方体の右の面・上の面・前の面・後ろの面に接していて、たて 3 cm 分（手前から奥まで）全部です。

残った立体は、1 辺 1 cm の立方体何個でできていますか。

内側の長さが、たて $20$ cm、横 $30$ cm、深さ $25$ cm の直方体の形をした容器があります。この容器を水平な台の上に置き、深さ $12$ cm まで水を入れました。

この容器の底に、たて $10$ cm、横 $15$ cm、高さ $20$ cm の鉄の直方体を、たて $10$ cm、横 $15$ cm の面が底にぴったりつくように、まっすぐ立てて入れます。このとき、水の深さは何 cm になりますか。ただし、容器の厚さは考えないものとし、鉄の直方体は水にうかないものとします。

直方体 ABCD-EFGH があります。上の面は長方形 ABCD で、頂点 E、F、G、H はそれぞれ頂点 A、B、C、D の真下にあります。辺の長さは AB $=6$ cm、AD $=8$ cm、AE $=10$ cm です。

辺 AE のまん中の点を M とします。この直方体を、$3$ つの点 B、D、M を通る平面で切って $2$ つの立体に分けました。このとき、頂点 A をふくまないほうの立体の体積は何 cm³ ですか。

1 辺が 1 cm の立方体を使って、次のような 4 段の立体を作ります。

• 1 段目（いちばん下の段）は、たて 4 個・横 4 個の 16 個をすきまなく並べます。
• 2 段目は、1 段目の上に、たて 3 個・横 3 個の 9 個をすきまなく並べます。
• 3 段目は、2 段目の上に、たて 2 個・横 2 個の 4 個をすきまなく並べます。
• 4 段目は、3 段目の上に 1 個をのせます。

どの段も、立体の左の面と奥の面がそれぞれ 1 つの平らな面になるように、左奥のかどをそろえて積みます。

この立体の表面積（床についている底面もふくみます）は何 cm² ですか。

たて・横・高さの長さの比が $1:2:3$ である直方体があります。この直方体の体積は $750{\text{ cm}}^3$ です。

この直方体の表面積は何 cm² ですか。

内側の長さが、たて 20 cm、横 30 cm、深さ 25 cm の直方体の形をした水そうが水平な床に置いてあり、深さ 10 cm まで水が入っています。

この水そうの底に、たて 10 cm、横 10 cm、高さ 15 cm の直方体の鉄のかたまりを、10 cm と 10 cm の正方形の面を下にしてまっすぐに立てて置きました。

水の深さは何 cm になりますか。

1 辺が 1 cm の立方体 27 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 3 cm の大きな立方体を作り、床に置きました。小さな立方体どうしはのりでくっついていて、一部を取りのぞいてもくずれません。

いちばん上の段（たて 3 個・横 3 個の 9 個）のうち、4 すみにあるものでも、真ん中にあるものでもない 4 個（それぞれの辺の真ん中にある 4 個）を取りのぞきました。

こうしてできた立体の表面積（床についている底面もふくみます）は何 cm² ですか。

内側の長さが、たて 20 cm、横 15 cm、高さ 30 cm の直方体の形をした水そうに、深さ 12 cm まで水が入っています。

この水そうに、底面がたて 10 cm、横 6 cm の長方形で、高さが 20 cm の直方体の鉄の棒を、底面を水そうの底につけてまっすぐに立てて入れました。

次に、この鉄の棒を、まっすぐに立てたまま 4 cm だけ真上に引き上げました。このとき、水の深さは何 cm になりますか。ただし、水そうの厚さは考えないものとします。

1 辺が 1 cm の立方体を、次のように 4 だんに積み重ねて立体を作ります。

• 1 だん目（いちばん下）は、立方体をたてに 4 個、横に 4 個、すきまなくならべた正方形の形
• 2 だん目は、たてに 3 個、横に 3 個ならべた正方形の形
• 3 だん目は、たてに 2 個、横に 2 個ならべた正方形の形
• 4 だん目は、立方体 1 個

どのだんも、真上から見たときに左おくの角がぴったりそろうように、すぐ下のだんの上に置きます。

この立体の表面積は何 cm² ですか。ただし、床についている面もふくめます。

密閉された容器があります。この容器は、内側の長さがたて 20 cm、横 20 cm、高さ 10 cm の直方体の部分 A と、内側の長さがたて 10 cm、横 10 cm、高さ 20 cm の直方体の部分 B からできています。部分 B は、部分 A の上の面の真ん中から真上にのびるようにつながっていて、容器の中は 1 つの空間になっています。

この容器を、部分 A を下にして水平な台の上に置いたところ、容器の底から水面までの高さは 15 cm でした。

この容器を上下逆さまにして、部分 B を下にして水平な台の上に置くと、容器の底から水面までの高さは何 cm になりますか。分数で答えなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

水平な台の上に、直方体の形をした 2 つの水そう A、B が置いてあります。

• 水そう A の内側の長さは、たて 20 cm、横 30 cm、深さ 30 cm で、深さ 24 cm まで水が入っています。
• 水そう B の内側の長さは、たて 30 cm、横 40 cm、深さ 20 cm で、水は入っていません。

水そう A の水を水そう B に移していき、2 つの水そうの水の深さが等しくなったところで移すのをやめました。

このとき、水の深さは何 cm ですか。

角 B が直角の直角三角形 ABC があり、AB = 6 cm、BC = 9 cm です。

この三角形を、辺 AB を軸として 1 回転させてできる立体を(あ)、辺 BC を軸として 1 回転させてできる立体を(い)とします。

立体(あ)の体積は、立体(い)の体積より何 cm³ 大きいですか。円周率は 3.14 とします。

台形 ABCD があります。辺 AD と辺 BC は平行で、角 B は直角です。また、AB = 6 cm、AD = 3 cm、BC = 6 cm です。

この台形を対角線 AC で 2 つの三角形に分けます。そのうち三角形 ACD を、直線 AB を軸として 1 回転させてできる立体の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。

1 辺が 1 cm の立方体 64 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 4 cm の立方体を作ります。小さな立方体どうしはのりでくっついていて、一部を取りのぞいてもくずれません。

この立方体の、正面の面の真ん中にある「たて 2 個・横 2 個」の 4 個分の正方形の部分から、反対側（うしろ）の面までまっすぐくりぬきます。さらに、上の面の真ん中にある「たて 2 個・横 2 個」の 4 個分の正方形の部分から、反対側（下）の面までまっすぐくりぬきます。

くりぬいたあとに残った立体の表面積は何 cm² ですか。ただし、くりぬいた穴の内側の面も表面積にふくめます。

内側の長さが、たて $30$ cm、横 $40$ cm、深さ $50$ cm の直方体の形をした容器が水平な台の上に置いてあり、深さ $20$ cm まで水が入っています。

この容器の底に、$1$ 辺が $20$ cm の鉄の立方体を、$1$ つの面が底にぴったりつくように入れました。このとき、水の深さは何 cm になりますか。答えが整数にならないときは、帯分数ではなく仮分数で答えなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとし、鉄の立方体は水にうかないものとします。

1 辺が 1 cm の立方体 125 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 5 cm の大きな立方体を作りました。小さな立方体どうしはのりでくっついていて、一部を取りのぞいてもくずれません。

この大きな立方体から、次の 2 つのトンネルをあけるように小さな立方体を取りのぞきます。

• 正面の面のちょうど真ん中にある 1 個から、後ろの面のちょうど真ん中にある 1 個まで、まっすぐに並んだ 5 個を取りのぞく。
• 右の面のちょうど真ん中にある 1 個から、左の面のちょうど真ん中にある 1 個まで、まっすぐに並んだ 5 個を取りのぞく。

2 つのトンネルは、大きな立方体の中心にある 1 個のところで交わっています。上の面と下の面には穴をあけません。

こうしてできた立体の表面積（トンネルの内側の面もふくみます）は何 cm² ですか。

底面の半径が 5 cm、高さが 10 cm の円柱から、底面の円と中心が同じで半径が 3 cm の円を底面とする円柱の形の穴を、上の底面から下の底面まで、まっすぐにくりぬきました。こうしてできた、つつのような形の立体があります。

この立体の表面積（穴の内側の面もふくみます）は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

同じ大きさの直方体の形をした木のブロックが 3 個あります。それぞれのブロックを、次のように平面で 1 回ずつ切って、2 つの直方体に分けました。

• 1 個目は、底面に平行な平面で切りました。切ってできた 2 つの直方体の表面積の和は、もとのブロックの表面積より $96$ cm² 大きくなりました。
• 2 個目は、正面の面に平行な平面で切りました。切ってできた 2 つの直方体の表面積の和は、もとのブロックの表面積より $120$ cm² 大きくなりました。
• 3 個目は、右側の面に平行な平面で切りました。切ってできた 2 つの直方体の表面積の和は、もとのブロックの表面積より $160$ cm² 大きくなりました。

ただし、底面は「たて × 横」の長方形、正面の面は「横 × 高さ」の長方形、右側の面は「たて × 高さ」の長方形とします。

このブロック 1 個の体積は何 cm³ ですか。

底面の半径が 6 cm、高さが 9 cm の円すいがあります。この円すいの頂点を A、底面の円の中心を O とします。線分 AO は底面に垂直で、長さは 9 cm です。

線分 AO 上に、AP = 3 cm となる点 P をとります。点 P を通り、底面に平行な平面でこの円すいを切って、2 つの立体に分けました。

このうち、底面をふくむ方の立体の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。

1 辺が 1 cm の立方体 216 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 6 cm の大きな立方体を作りました。小さな立方体どうしはのりでくっついていて、一部を取りのぞいてもくずれません。

この大きな立方体から、次の 2 つのくりぬきをしました。

• 正面の面の真ん中にある「たて 2 個・横 2 個」の正方形の部分から、反対側（背面）まで、正面に垂直にまっすぐくりぬく
• 上の面の真ん中にある「たて 2 個・横 2 個」の正方形の部分から、反対側（下の面）まで、上の面に垂直にまっすぐくりぬく

くりぬいた部分は、どちらも 1 辺 2 cm の正方形を切り口とする四角柱の形のトンネルになり、2 つのトンネルは大きな立方体の中心のところで交わっています。

こうしてできた立体の表面積（穴の内側の面もふくめた、すべての面の面積の合計）は何 cm² ですか。

直方体 ABCD-EFGH があります。上の面は長方形 ABCD、下の面は長方形 EFGH で、頂点 E、F、G、H はそれぞれ頂点 A、B、C、D の真下にあります。辺の長さは AB = 12 cm、AD = 6 cm、AE = 8 cm です。

この直方体の 4 つの頂点 B、D、E、G を頂点とする三角すい BDEG の体積は何 cm³ ですか。

1 辺が 1 cm の白い立方体 125 個をすきまなく積み重ねて、1 辺が 5 cm の大きな立方体を作り、床の上に置きました。

この大きな立方体の、床についている下の面をのぞいた 5 つの面（上の面と、前・後ろ・左・右の 4 つの側面）に、すべて赤いペンキをぬりました。そのあと、大きな立方体をばらばらにして、もとの 125 個の小さな立方体にもどしました。

小さな立方体のうち、赤くぬられた面がちょうど 1 つだけであるものは何個ありますか。

底面の円の半径が 6 cm、高さが 10 cm の円柱を、2 つの底面の円の中心を結ぶ線をふくむ 2 つの平面で切って、もとの円柱のちょうど 4 分の 1 の大きさの立体を切り取りました。この立体の底面は、半径 6 cm、中心角 90° のおうぎ形で、高さは 10 cm です。

この立体の表面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。