この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

立体図形の問題

難易度 4中学入試の標準レベル算数立体図形

底面の半径が 6 cm、高さが 9 cm の円すいがあります。この円すいの頂点を A、底面の円の中心を O とします。線分 AO は底面に垂直で、長さは 9 cm です。

線分 AO 上に、AP = 3 cm となる点 P をとります。点 P を通り、底面に平行な平面でこの円すいを切って、2 つの立体に分けました。

このうち、底面をふくむ方の立体の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。

A

O

P

6 cm9 cm3 cm

この問題で使うもの

角すい・円すいの体積（説明と入口の問題）
相似な三角形と長さの比（説明と入口の問題）
円の周の長さと面積（説明と入口の問題）
小数の四則計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

切ってできた 2 つの立体のうち、頂点 A をふくむ方は、もとの円すいと同じ形の小さな円すいです。もとの円すいから小さな円すいを引くと考えましょう。

ヒント 2

高さの比が AP : AO = 3 : 9 = 1 : 3 なので、小さな円すいの底面の半径はもとの円すいの $\frac{1}{3}$ です。

ヒント 3

もとの円すいの体積は $108 \times 3.14$ cm³、小さな円すいの底面の半径は 2 cm です。3.14 は最後にまとめてかけましょう。

答えと解説

答えを見る

326.56

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

切り口は、点 P を中心とする円になります。頂点 A をふくむ方の立体は、もとの円すいと同じ形の小さな円すいです。

小さな円すいの底面の半径

小さな円すいの高さは AP = 3 cm、もとの円すいの高さは AO = 9 cm なので、高さの比は $3 : 9 = 1 : 3$ です。同じ形なので、底面の半径の比も $1 : 3$ になり、小さな円すいの底面の半径は
$6 \div 3 = 2 (cm)$
です。

それぞれの体積

円すいの体積は「底面積 × 高さ ÷ 3」です。計算を楽にするため、3.14 は最後にかけます。

もとの円すい:
$6 \times 6 \times 3.14 \times 9 \div 3 = 108 \times 3.14$

小さな円すい:
$2 \times 2 \times 3.14 \times 3 \div 3 = 4 \times 3.14$

底面をふくむ方の立体

もとの円すいから小さな円すいを取りのぞいた部分なので、
$108 \times 3.14 - 4 \times 3.14 = (108 - 4) \times 3.14 = 104 \times 3.14 = 326.56$

よって、体積は $326.56$ cm³ です。

別解

もとの円すいの体積は $6 \times 6 \times 3.14 \times 9 \div 3 = 3.14 \times 108 = 339.12$ cm³。
頂点 A に近い方の小さな円すいは、高さが $3$ cm でもとの $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ 。切り口は底面に平行なので、相似な円すいで、半径も $6 \times \frac{1}{3} = 2$ cm。
小さな円すいの体積は $2 \times 2 \times 3.14 \times 3 \div 3 = 3.14 \times 4 = 12.56$ cm³。（もとの $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$ で、 $339.12 \div 27 = 12.56$ とも一致する。）
底面をふくむ方の立体（円すい台）は $339.12 - 12.56 = 326.56$ cm³。
検算: 円すい台の体積は、 $3.14 \times 108 \times \frac{26}{27} = 3.14 \times 104 = 326.56$ となり一致する。

立体図形の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題