立体図形の問題

台形 ABCD は、三角形 ABC と三角形 ACD に分かれます。

AD と BC は平行で、BC は AB に垂直（角 B が直角）なので、AD も AB に垂直です（角 A も直角）。つまり、AD と BC はどちらも回転の軸 AB に垂直なので、1 回転させると、AD は半径 3 cm、BC は半径 6 cm の円をえがきます。

台形 ABCD を AB を軸として 1 回転させると「円すい台」（大きな円すいから小さな円すいを切り取った形）ができます。三角形 ABC を同じように回転させると、頂点が A、底面の半径が BC = 6 cm の円すいができ、これは円すい台の内側にすっぽり入っています。三角形 ACD を回転させてできる立体は、円すい台から、この円すいをくりぬいた残りの部分です。

円すい台の体積

辺 BA を A の方へのばした直線と、辺 CD を D の方へのばした直線が交わる点を O とします。AD と BC は平行なので、三角形 OAD と三角形 OBC は同じ形（拡大図・縮図の関係）で、
$$\text{OA}:\text{OB}=\text{AD}:\text{BC}=3:6=1:2$$
です。OB と OA の差が AB = 6 cm なので、比の 1 にあたる長さが 6 cm です。よって OA = 6 cm、OB = 12 cm です。

大きな円すい（半径 6 cm、高さ 12 cm）の体積は
$$6\times 6\times 3.14\times 12÷3=144\times 3.14$$
小さな円すい（半径 3 cm、高さ 6 cm）の体積は
$$3\times 3\times 3.14\times 6÷3=18\times 3.14$$
なので、円すい台の体積は
$$144\times 3.14-18\times 3.14=126\times 3.14$$

三角形 ABC を回転させた円すいの体積

半径 6 cm、高さ AB = 6 cm の円すいなので
$$6\times 6\times 3.14\times 6÷3=72\times 3.14$$

求める体積
$$126\times 3.14-72\times 3.14=54\times 3.14=169.56$$

よって、答えは 169.56 cm³ です。

直線 AB を軸に回転させる。B を原点のようにみて、AB は軸、BC は軸に垂直な方向（長さ 6 cm）。軸からの距離は A が 0 cm、D が 3 cm（A から 3 cm 上）、C が 6 cm（B の位置）。

三角形 ACD を回転させてできる立体は、「辺 DC を回転させてできる円すい台」から「辺 AC を回転させてできる円すい」をくりぬいた形になる（三角形 ACD は、軸に近い側が辺 AC、遠い側が辺 DC で囲まれているため）。

・辺 DC を回転させてできる円すい台: 上の面（A と同じ高さ、D を通る）の半径 3 cm、下の面（B の高さ、C を通る）の半径 6 cm、高さ 6 cm。
体積は、大きい円すい（半径 6 cm、高さ 12 cm）から小さい円すい（半径 3 cm、高さ 6 cm）をひいて求める。
$6\times 6\times 3.14\times 12÷3-3\times 3\times 3.14\times 6÷3=144\times 3.14-18\times 3.14=126\times 3.14$ (cm³)

・辺 AC を回転させてできる円すい: 底面の半径 6 cm、高さ 6 cm。
$6\times 6\times 3.14\times 6÷3=72\times 3.14$ (cm³)

よって求める体積は $126\times 3.14-72\times 3.14=54\times 3.14=169.56$ (cm³)。

検算: 円すい台の体積の公式（高さ÷3×(上の面積＋下の面積＋√(上×下) に相当する量)）を使うかわりに、円すいの差で $144-18=126$ と確認済み。三角形 ACD の面積は $3\times 6÷2=9$ cm²、重心の軸からの距離は $(0+3+6)÷3=3$ cm なので、パップスの定理の考え方でも $9\times (2\times 3\times 3.14)=9\times 18.84=169.56$ となり一致する。