回転体の体積

平面図形を直線のまわりに 1 回転させてできる立体を、円柱・円すいの組み合わせ（たし算・ひき算）として考えて、体積を求められる

前提

角すい・円すいの体積（算数立体図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）

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算数中学高校大学大学院

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直方体・立方体の体積（算数立体図形）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
角柱・円柱の体積（算数立体図形）
角すい・円すいの体積（算数立体図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）

説明

長方形や三角形・台形などの平面図形を、1 本の直線（回転の軸）のまわりに 1 回転させると、つぼやこまのような立体（回転体）ができます。回転体の体積は、立体を円柱や円すいに分けて、それらの体積をたしたりひいたりして求めます。分け方を見つけるには、もとの図形を長方形と直角三角形に分けて考えるのがコツです。

なぜそうしてよいのか

軸に 1 つの辺がくっついた長方形を軸のまわりに 1 回転させると、円柱ができます。軸にくっついた辺の長さが円柱の高さ、軸から垂直にのびる辺の長さが底面の半径です。同じように、直角をはさむ 1 辺が軸にくっついた直角三角形を回転させると、円すいができます。軸にくっついた辺が高さ、直角をはさむもう 1 つの辺が底面の半径です。

もとの図形を、軸に垂直な線で長方形と直角三角形に切り分けると、回転させたときもそれぞれが円柱と円すいになり、立体全体はそれらをつなげたものになります。だから体積は、それぞれの体積をたせば求められます。また、図形が大きな長方形や三角形から一部を切り取った形なら、回転体も大きな円柱や円すいから一部をくりぬいた形になるので、体積をひいて求めます。

台形のように、軸に垂直な 2 つの辺をもつ図形が円すいの先を切り取った形になるときは、ななめの辺をのばして大きな円すいをつくり、そこから小さな円すいをひきます。のばした長さは、相似な三角形（ピラミッド型）の辺の比から求めます。

手順

回転の軸と図形の位置関係を確かめ、各頂点から軸までの長さ（回転したときの半径）を読み取る
図形を、軸に垂直な線で長方形（→ 円柱）と直角三角形（→ 円すい）に分ける。または、大きな形から切り取った形と見る（必要なら相似を使って長さを求める）
円柱は半径 × 半径 × 3.14 × 高さ、円すいは半径 × 半径 × 3.14 × 高さ ÷ 3 で、それぞれの体積を求める
体積をたしたりひいたりする。3.14 は最後にまとめてかけると計算が楽になる

例題

台形 ABCD は、辺 AB と辺 DC が平行で、角 B と角 C が直角です。AB = 8 cm、BC = 3 cm、DC = 4 cm です。この台形を、直線 AB を軸として 1 回転させてできる立体の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。

例題の解答

手順 1: 軸は AB です。辺 BC は軸に垂直で長さが 3 cm なので、C は軸 AB から 3 cm はなれた位置にあります。辺 DC は軸と平行なので、D も軸から 3 cm はなれた位置にあり、辺 DC 全体が軸から 3 cm はなれています。

手順 2: D から AB に垂直な線をひき、AB と交わる点を H とします。HB = DC = 4 cm、AH = 8 − 4 = 4 cm、DH = 3 cm です。台形は、長方形 HBCD と直角三角形 AHD に分かれます。長方形 HBCD を回転させると半径 3 cm、高さ 4 cm の円柱に、三角形 AHD を回転させると半径 3 cm、高さ 4 cm の円すいになります。

手順 3: 円柱の体積は $3 \times 3 \times 3.14 \times 4 = 113.04$ (cm³)、円すいの体積は $3 \times 3 \times 3.14 \times 4 \div 3 = 37.68$ (cm³) です。

手順 4: 合わせて $113.04 + 37.68 = 150.72$ (cm³) です。（ $3 \times 3 \times (4 + 4 \div 3) = 48$ を先に計算して $48 \times 3.14 = 150.72$ としてもよいです。）

答え: $150.72$

よくある誤り

円すいの部分を ÷ 3 せずに円柱として計算してしまう誤り（例: $3 \times 3 \times 3.14 \times 8 = 226.08$ ）。三角形の部分は円すいになるので、正しくは $113.04 + 37.68 = 150.72$
半径と高さを取りちがえる誤り（例: 円柱を半径 4 cm・高さ 3 cm として $4 \times 4 \times 3.14 \times 3$ とする）。軸にくっついた辺が高さ、軸から垂直にのびる長さが半径なので、正しくは半径 3 cm・高さ 4 cm
回転させた図形の面積に 3.14 などをかけて体積としてしまう誤り（例: 台形の面積 $(8 + 4) \times 3 \div 2 = 18$ を使う）。回転体は円柱・円すいに分けて、それぞれ底面積 × 高さ（円すいは ÷ 3）で求める
円すいの先を切り取った形で、大きい円すいの高さを相似を使わずにまちがえる誤り。たとえば半径 2 cm と 4 cm の 2 つの円を底と上にもつ高さ 3 cm の形で、大きい円すいの高さを 3 cm のままにして $4 \times 4 \times 3.14 \times 3 \div 3 - 2 \times 2 \times 3.14 \times 3 \div 3 = 37.68$ としてしまう。正しくは、相似比 2 : 4 = 1 : 2 から小さい円すいの高さは 3 cm、大きい円すいの高さは $3 + 3 = 6$ cm で、体積は $4 \times 4 \times 3.14 \times 6 \div 3 - 2 \times 2 \times 3.14 \times 3 \div 3 = 100.48 - 12.56 = 87.92$ cm³（小さい円すいをひき忘れて 100.48 cm³ としないこと）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
台形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいます。辺 AD と辺 BC は平行で、角 B は直角（90 度）です。また、AB = 3 cm、AD = 4 cm、BC = 7 cm で、辺 BC のほうが辺 AD より長い台形です。
この台形を、辺 BC をふくむ直線を軸として 1 回転させてできる立体の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。
$A$ $B$ $C$ $D$ 3 cm4 cm7 cm
破線は回転の軸（辺 BC をふくむ直線）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

回転体の体積（中学数学空間図形）