角すい・円すいの体積

底面が 1 辺 6 cm の正方形で、高さが 5 cm の四角すいがあります。この四角すいの体積は何 cm³ ですか。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の立方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があります。正方形 $\mathrm{ABCD}$ が底面で、$\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ は底面に垂直な辺です。辺 $\mathrm{AE}$ 上に $\mathrm{AP}=4\text{cm}$ となる点 $\mathrm{P}$ をとります。この立方体を $3$ 点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{P}$ を通る平面で切って $2$ つの立体に分けるとき、頂点 $\mathrm{C}$ を含む方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

1 辺が 6 cm の立方体があります。この立方体の 1 つの頂点を A とし、頂点 A に集まる 3 本の辺の、A ではないほうのはしの頂点を、それぞれ P、Q、R とします。

この立方体を、3 つの点 P、Q、R を通る平面で切って、2 つの立体に分けます。頂点 A をふくまないほうの立体の体積は何 cm³ ですか。

母線の長さが $10\text{cm}$、底面の円の半径が $6\text{cm}$ の円錐がある。この円錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めよ。ただし、円周率は $\pi$ とする。

三角柱 $\mathrm{ABC}\text{-}\mathrm{DEF}$ があります。底面の $△\mathrm{ABC}$ は $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$、$\mathrm{AB}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=6\text{cm}$ の直角三角形です。頂点 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ はそれぞれ頂点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ の真上にあり、辺 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ は底面に垂直で、長さはどれも $9\text{cm}$ です。

この三角柱を $3$ 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{E}$ を通る平面で切って $2$ つの立体に分けるとき、頂点 $\mathrm{D}$ をふくむほうの立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

台形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ }$、$\mathrm{AB}=4\text{cm}$、$\mathrm{AD}=3\text{cm}$、$\mathrm{BC}=6\text{cm}$ です。

この台形を、直線 $\mathrm{BC}$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

直方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があります。長方形 $\mathrm{ABCD}$ が底面で、$\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ は底面に垂直な辺です。また、$\mathrm{AB}=5\text{cm}$、$\mathrm{AD}=4\text{cm}$、$\mathrm{AE}=6\text{cm}$ です。

この直方体を、3 つの頂点 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$ を通る平面で 2 つの立体に切り分けました。頂点 $\mathrm{A}$ をふくまない方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

底面の円の半径が $3$ cm、高さが $8$ cm の円すいがあります。この円すいの体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。

底面の半径が $6\text{cm}$、高さが $9\text{cm}$ の円錐があります。この円錐の高さを $3$ 等分する $2$ つの点を通り、底面に平行な $2$ つの平面で円錐を切り、$3$ つの立体に分けます。このとき、$3$ つの立体のうち真ん中の立体の体積を求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

直方体 ABCD-EFGH があります。上の面は長方形 ABCD で、頂点 E、F、G、H はそれぞれ頂点 A、B、C、D の真下にあります。辺の長さは AB $=6$ cm、AD $=8$ cm、AE $=10$ cm です。

辺 AE のまん中の点を M とします。この直方体を、$3$ つの点 B、D、M を通る平面で切って $2$ つの立体に分けました。このとき、頂点 A をふくまないほうの立体の体積は何 cm³ ですか。

底面が $1$ 辺 $8\text{cm}$ の正方形 $ABCD$ で、側面の辺 $OA,OB,OC,OD$ の長さがすべて $9\text{cm}$ である正四角錐 $OABCD$ がある。この正四角錐の体積を求めよ。

$\angle \mathrm{C}=90^{\circ }$、$\mathrm{AC}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=3\text{cm}$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。この三角形を、斜辺 $\mathrm{AB}$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

角 B が直角の直角三角形 ABC があり、AB = 6 cm、BC = 9 cm です。

この三角形を、辺 AB を軸として 1 回転させてできる立体を(あ)、辺 BC を軸として 1 回転させてできる立体を(い)とします。

立体(あ)の体積は、立体(い)の体積より何 cm³ 大きいですか。円周率は 3.14 とします。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の立方体 $ABCD\text{-}EFGH$ があります。底面は正方形 $ABCD$、上面は正方形 $EFGH$ で、$AE$, $BF$, $CG$, $DH$ はどれも底面に垂直な辺です。$3$ 点 $B$, $D$, $G$ を通る平面に、頂点 $C$ から垂線をひくとき、その垂線の長さ（頂点 $C$ と平面 $BDG$ との距離）は何 $\text{cm}$ か求めなさい。

平行四辺形 $ABCD$ があり、$AB=5\text{cm}$、$BC=6\text{cm}$、$\angle ABC$ は鋭角で、$2$ 直線 $AD$ と $BC$ の距離は $4\text{cm}$ です。頂点は $A,B,C,D$ の順に並んでいます。この平行四辺形を、直線 $BC$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

底面の半径が $6\text{cm}$、高さが $8\text{cm}$ の円錐の容器の中に、球が $1$ 個入っています。この球は、円錐の底面と側面の両方にぴったり接しています（円錐の底面にも、側面にもちょうど接する、この円錐の中に入るいちばん大きい球です）。円錐の内部のうち、球の外側の部分の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とし、容器の厚さは考えないものとします。

台形 ABCD があります。辺 AD と辺 BC は平行で、角 B は直角です。また、AB = 6 cm、AD = 3 cm、BC = 6 cm です。

この台形を対角線 AC で 2 つの三角形に分けます。そのうち三角形 ACD を、直線 AB を軸として 1 回転させてできる立体の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。

ある円錐の側面の展開図は、中心角が $120^{\circ }$ のおうぎ形です。この円錐の表面積が $36\pi {\text{cm}}^2$ のとき、円錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

座標平面上に $3$ 点 $\mathrm{A}(2,0)$, $\mathrm{B}(6,0)$, $\mathrm{C}(2,6)$ があります。三角形 $\mathrm{ABC}$ を、$y$ 軸を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。ただし、座標の $1$ 目もりを $1\text{cm}$ とします。

正方形 $\mathrm{ABCD}$ を底面とする正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。この正四角錐の高さは $4\text{cm}$、表面積は $96{\text{cm}}^2$ です。この正四角錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。頂点 $\mathrm{A}$ を通り、辺 $\mathrm{BC}$ に平行な直線を $\ell$ とします。正三角形 $\mathrm{ABC}$ を、直線 $\ell$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

三角柱 $\mathrm{ABC}\text{-}\mathrm{DEF}$ があります。底面 $\mathrm{ABC}$ は $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$、$\mathrm{AB}=6\text{cm}$、$\mathrm{BC}=8\text{cm}$ の直角三角形で、側面はすべて長方形であり、$\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}=12\text{cm}$ です（$\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ は底面に垂直です）。

辺 $\mathrm{AD}$ 上に $\mathrm{AP}=4\text{cm}$ となる点 $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{BE}$ 上に $\mathrm{BQ}=10\text{cm}$ となる点 $\mathrm{Q}$、辺 $\mathrm{CF}$ 上に $\mathrm{CR}=7\text{cm}$ となる点 $\mathrm{R}$ をとります。

この三角柱を 3 点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ を通る平面で 2 つの立体に切り分けたとき、頂点 $\mathrm{D}$ を含む方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

底面が $1$ 辺 $8\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ で、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$ である正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。この正四角錐の体積は $128{\text{cm}}^3$ です。

この正四角錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

底面の半径が 6 cm、高さが 9 cm の円すいがあります。この円すいの頂点を A、底面の円の中心を O とします。線分 AO は底面に垂直で、長さは 9 cm です。

線分 AO 上に、AP = 3 cm となる点 P をとります。点 P を通り、底面に平行な平面でこの円すいを切って、2 つの立体に分けました。

このうち、底面をふくむ方の立体の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。

直方体 ABCD-EFGH があります。上の面は長方形 ABCD、下の面は長方形 EFGH で、頂点 E、F、G、H はそれぞれ頂点 A、B、C、D の真下にあります。辺の長さは AB = 12 cm、AD = 6 cm、AE = 8 cm です。

この直方体の 4 つの頂点 B、D、E、G を頂点とする三角すい BDEG の体積は何 cm³ ですか。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の立方体 $ABCD\text{-}EFGH$ があります。正方形 $ABCD$ が底面、正方形 $EFGH$ が上面で、$AE$, $BF$, $CG$, $DH$ はどれも底面に垂直な辺です。辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AD$ の中点を $N$ とします。この立方体を $3$ 点 $M$, $N$, $G$ を通る平面で切って $2$ つの立体に分けるとき、頂点 $A$ を含む方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。

$1$ 辺の長さが $4\text{cm}$ の正方形 $ABCD$ があります。頂点 $A$ を通り、対角線 $AC$ に垂直な直線を $\ell$ とします（直線 $\ell$ は対角線 $BD$ に平行で、正方形とは点 $A$ だけを共有します）。正方形 $ABCD$ を、直線 $\ell$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。