空間図形の問題

正方形 $\mathrm{ABCD}$ の対角線の交点を $\mathrm{H}$ とすると、$\mathrm{OH}$ は底面に垂直で、$\mathrm{OH}$ が正四角錐の高さになります。

高さを求める

底面積は $8\times 8=64({\text{cm}}^2)$ です。高さを $h\text{cm}$ とすると、
$$\frac{1}{3}\times 64\times h=128$$
$$h=6$$

側面の三角形の高さを求める

辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$ とします。$△\mathrm{OAB}$ は $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ の二等辺三角形なので、$\mathrm{OM}\perp \mathrm{AB}$ で、$\mathrm{OM}$ は $△\mathrm{OAB}$ の底辺 $\mathrm{AB}$ に対する高さです。

また、$\mathrm{HM}=\frac{1}{2}\times 8=4\text{cm}$ で、$△\mathrm{OHM}$ は $\angle \mathrm{OHM}=90^{\circ }$ の直角三角形なので、三平方の定理より
$${\mathrm{OM}}^2=6^2+4^2=52$$
$\mathrm{OM}>0$ より
$$\mathrm{OM}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

表面積を求める

側面の三角形 $1$ つの面積は
$$\frac{1}{2}\times 8\times 2\sqrt{13}=8\sqrt{13}({\text{cm}}^2)$$
で、側面は合同な $4$ つの三角形なので、側面積は $4\times 8\sqrt{13}=32\sqrt{13}({\text{cm}}^2)$ です。

よって、表面積は
$$64+32\sqrt{13}({\text{cm}}^2)$$
です。

底面の面積は $8\times 8=64$ (${\text{cm}}^2$)。高さを $h$ cm とすると、体積より $\frac{1}{3}\times 64\times h=128$、$h=6$ cm。
OA=OB=OC=OD なので、頂点 O から底面に下ろした垂線の足は正方形の中心になる。底辺の中点から中心までの距離は $4$ cm。
側面の二等辺三角形の高さ（斜高）は $\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ cm。
側面積は $4\times \frac{1}{2}\times 8\times 2\sqrt{13}=32\sqrt{13}$ (${\text{cm}}^2$)。
表面積は $64+32\sqrt{13}$ (${\text{cm}}^2$)。