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円錐の展開図と側面積

底面の半径 $r$、母線の長さ $\ell$ の円錐について、展開図のおうぎ形の中心角 $360^{\circ }\times \frac{r}{\ell }$ と側面積 $\pi r\ell$ を求められる

前提

• 角柱・円柱の表面積 （算数 立体図形）
• 弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める （中学数学 平面図形）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 底面の半径 $r$ と母線の長さ $\ell$ を確かめる（高さではなく、頂点から底面の円周までの長さが母線）

2. 展開図のおうぎ形は、半径が $\ell$、弧の長さが底面の円周 $2\pi r$ であることを書き出す

3. 中心角は、割合 $\frac{r}{\ell }$ を使って $360^{\circ }\times \frac{r}{\ell }$ で求める

4. 側面積は $\pi r\ell$（$=\pi {\ell }^2\times \frac{r}{\ell }$）で求める

5. 表面積が必要なときは、側面積に底面積 $\pi r^2$ を 1 つだけ加える

例題

よくある誤り

• 中心角の割合を逆にしてしまう誤り。$r=4$、$\ell =10$ で $360^{\circ }\times \frac{10}{4}=900^{\circ }$ としてしまう。正しくは $360^{\circ }\times \frac{r}{\ell }=360^{\circ }\times \frac{4}{10}=144^{\circ }$（中心角は必ず $360^{\circ }$ より小さい）

• おうぎ形の半径を底面の半径 $r$ にしてしまう誤り。側面積を $\pi r^2\times \frac{r}{\ell }$ のように計算してしまう。正しくは、おうぎ形の半径は母線の長さ $\ell$ なので、側面積は $\pi {\ell }^2\times \frac{r}{\ell }=\pi r\ell$

• 母線の長さのかわりに円錐の高さを使ってしまう誤り。底面の半径 $3$、高さ $4$、母線 $5$ の円錐の側面積を $\pi \times 3\times 4=12\pi$ としてしまう。正しくは母線を使って $\pi \times 3\times 5=15\pi$

• 表面積で底面を 2 つ加えてしまう誤り（円柱と混同）。$r=4$、$\ell =10$ の円錐の表面積を $40\pi +2\times 16\pi =72\pi$ としてしまう。正しくは円錐の底面は 1 つなので $40\pi +16\pi =56\pi$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  底面の半径が $3\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。この円錐の側面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。円周率は $\pi$ を使って答えなさい。

  $3\text{cm}$$8\text{cm}$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上に点 $\mathrm{A}$ をとります。点 $\mathrm{A}$ から円錐の側面にそって糸を $1$ 周巻きつけ、再び点 $\mathrm{A}$ まで戻します。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 $\text{cm}$ ですか。

  $\mathrm{A}$$2\text{cm}$$8\text{cm}$

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  底面の半径が $5\text{cm}$、高さが $12\text{cm}$ の円錐がある。この円錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ か。ただし、円周率は $\pi$ とする。

  12 cm5 cm

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  底面の半径が $3\text{cm}$、高さが $4\text{cm}$ の円錐と、半径が $3\text{cm}$ の半球があります。円錐の底面と半球の平らな面（半径 $3\text{cm}$ の円）をぴったり重ね合わせて、$1$ つの立体を作りました。

  この立体の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

  4 cm3 cm

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  底面の半径が $3\text{cm}$、高さが $4\text{cm}$ の円柱があります。この円柱から、円柱の上の底面を底面とし、下の底面の中心を頂点とする円錐をくりぬきました。残った立体の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

  $3\text{cm}$$4\text{cm}$

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  頂点を $O$ とし、底面の半径が $4\text{cm}$ の円錐があります。この円錐を平面の上に横にたおして置き、頂点 $O$ を中心として、平面の上をすべらないように転がしたところ、円錐はちょうど $3$ 回転して、はじめて元の位置にもどりました。この円錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

  $\mathrm{O}$$4\text{cm}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  ある円錐の側面の展開図は、中心角が $120^{\circ }$ のおうぎ形です。この円錐の表面積が $36\pi {\text{cm}}^2$ のとき、円錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

  $120^{\circ }$

この技能の次に学べること

• 角錐・円錐の表面積 （中学数学 空間図形）
• 円錐の側面にそった最短経路 （中学数学 空間図形）