三角形・四角形の面積

辺 AD と辺 BC が平行な台形 ABCD があります。上底 AD の長さは 4 cm、下底 BC の長さは 8 cm、高さ（辺 AD と辺 BC の間のきょり）は 6 cm です。この台形 ABCD の面積は何 cm² ですか。

底面が直角三角形の三角柱があります。底面の直角三角形は、直角をはさむ $2$ つの辺の長さが $6$ cm と $8$ cm で、残りの辺の長さが $10$ cm です。また、この三角柱の高さは $12$ cm です。この三角柱の表面積は何 cm² ですか。

底面が台形で、高さが 8 cm の四角柱があります。底面の台形 ABCD は、辺 AD と辺 BC が平行で、AD = 4 cm、BC = 10 cm、AB = 5 cm、DC = 5 cm です。また、この台形の高さ（辺 AD と辺 BC の間のきょり）は 4 cm です。

この四角柱の表面積は何 cm² ですか。

1 辺が 6 cm の立方体があります。この立方体の 1 つの頂点を A とし、頂点 A に集まる 3 本の辺の、A ではないほうのはしの頂点を、それぞれ P、Q、R とします。

この立方体を、3 つの点 P、Q、R を通る平面で切って、2 つの立体に分けます。頂点 A をふくまないほうの立体の体積は何 cm³ ですか。

長方形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=6\text{ cm}$、$\mathrm{BC}=10\text{ cm}$ である。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発し、長方形の辺上を $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}$ の順に毎秒 $2\text{ cm}$ の速さで動き、頂点 $\mathrm{D}$ で止まる。点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ を出発してから $x$ 秒後の $△\mathrm{APD}$ の面積を $y{\text{ cm}}^2$ とする。ただし、$0<x<11$ とする。

$y=18$ となる $x$ の値を、小さい順に求めよ。

長方形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいます。辺 AB の長さは 8 cm、辺 BC の長さは 12 cm です。辺 BC 上に点 E を、BE の長さが 5 cm となるようにとります。このとき、四角形 AECD の面積は何 cm² ですか。

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$ の台形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=6\text{cm}$、$\mathrm{AD}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=10\text{cm}$ である。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{B}$ を出発し、辺 $\mathrm{BC}$ 上を毎秒 $2\text{cm}$ の速さで頂点 $\mathrm{C}$ まで動く。

点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{B}$ を出発してから $x$ 秒後の四角形 $\mathrm{ABPD}$ の面積を $y{\text{cm}}^2$ とする。ただし、$x=0$ のときは $△\mathrm{ABD}$ の面積を $y$ とする。

$y$ が台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積のちょうど半分になるのは、点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{B}$ を出発してから何秒後か求めなさい。

ひし形 $\mathrm{ABCD}$ があり、対角線の長さは $\mathrm{AC}=12\text{cm}$、$\mathrm{BD}=16\text{cm}$ である。頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線をひき、辺 $\mathrm{BC}$ との交点を $\mathrm{H}$ とする。

線分 $\mathrm{AH}$ の長さは何 $\text{cm}$ か求めなさい。

直方体 ABCD-EFGH があります。上の面は長方形 ABCD で、頂点 E、F、G、H はそれぞれ頂点 A、B、C、D の真下にあります。辺の長さは AB $=6$ cm、AD $=8$ cm、AE $=10$ cm です。

辺 AE のまん中の点を M とします。この直方体を、$3$ つの点 B、D、M を通る平面で切って $2$ つの立体に分けました。このとき、頂点 A をふくまないほうの立体の体積は何 cm³ ですか。

長方形 ABCD があり、辺 AB の長さは 4 cm、辺 BC の長さは 8 cm です。頂点は A, B, C, D の順に並んでいます。辺 BC の真ん中の点を E とします。点 B を中心として半径 4 cm の円の一部である弧 AE を、点 C を中心として半径 4 cm の円の一部である弧 DE を、どちらも長方形の内側にかきます。辺 AD、弧 AE、弧 ED で囲まれた部分の面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

平行四辺形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいて、面積は $96{\text{cm}}^2$ です。辺 BC の真ん中の点を E とします。また、辺 CD 上に点 F を、CF の長さと FD の長さの比が $1:2$ となるようにとります。三角形 AEF の面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

$\angle \mathrm{C}=90^{\circ }$、$\mathrm{AC}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=3\text{cm}$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。この三角形を、斜辺 $\mathrm{AB}$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

$AB=5\text{cm}$、$BC=6\text{cm}$、$CA=7\text{cm}$ の $△ABC$ がある。頂点 $B$ から辺 $CA$ にひいた垂線の長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。

平行四辺形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいて、面積は 60 cm² です。辺 AD 上に点 E を、AE の長さと ED の長さの比が $2:1$ となるようにとります。線分 BE と対角線 AC が交わる点を F とします。このとき、三角形 AEF の面積は何 cm² ですか。

1 辺の長さが 12 cm の正方形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいます。辺 AB の真ん中の点を E とし、辺 BC 上に点 F を、BF の長さが 4 cm となるようにとります。このとき、三角形 DEF の面積は何 cm² ですか。

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ }$ の台形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=8\text{cm}$、$\mathrm{AD}=6\text{cm}$、$\mathrm{BC}=12\text{cm}$ である。

点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発し、台形の辺上を $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}$ の順に毎秒 $2\text{cm}$ の速さで動き、$\mathrm{D}$ に着いたら止まる。点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ を出発してから $x$ 秒後の $△\mathrm{APD}$ の面積を $y{\text{cm}}^2$ とする（$\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ または $\mathrm{D}$ にあるときは $y=0$ とする）。

$y=18$ となるときの $x$ の値は 2 つある。その 2 つの値を、小さい順に組で求めなさい。

長方形 ABCD があり、辺 AB の長さは 12 cm、辺 BC の長さは 18 cm です。頂点は A, B, C, D の順に並んでいて、辺 AD と辺 BC が平行です。辺 BC 上に点 E を、BE の長さが 12 cm となるようにとります。直線 AE と対角線 BD が交わる点を G とします。このとき、四角形 GECD の面積は何 cm² ですか。答えが整数にならないときは、分数で答えなさい。

半径 2 cm の円が 4 つあります。それぞれの円の中心が、1 辺 4 cm の正方形の 4 つの頂点になるように、4 つの円を置きます。この 4 つの円全体のまわりに、ひもをたるまないようにかけて囲みます。ひもで囲まれた部分のうち、どの円にもふくまれない部分の面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

たて 6 cm、よこ 9 cm の長方形があります。半径 1 cm の円が、この長方形の内側を、長方形の辺からはなれないように転がりながら 1 周して、もとの位置にもどります。このとき、円が通った部分の面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

台形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいて、辺 AD と辺 BC が平行です。AD の長さは 6 cm、BC の長さは 12 cm、台形の高さは 8 cm です。辺 CD 上に点 E を、DE と EC の長さの比が $3:1$ となるようにとります。このとき、三角形 ABE の面積は何 cm² ですか。

たての長さが $6\text{cm}$、横の長さが $10\text{cm}$ の長方形の内側を、半径 $1\text{cm}$ の円が、長方形の辺からはなれないように辺にそって転がりながら 1 周して、もとの位置にもどります。このとき、円が通った部分の面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。円周率は 3.14 とします。

点 O を中心とする半径 $12\text{cm}$、中心角 $150$ 度のおうぎ形 OAB があります。このおうぎ形から三角形 OAB を取りのぞいた部分、つまり弧 AB と線分 AB で囲まれた部分の面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。円周率は 3.14 とします。

底面が $1$ 辺 $12\text{cm}$ の正方形で、高さが $8\text{cm}$ の正四角錐がある。この正四角錐を底面に平行な平面で切り、頂点を含む小さい正四角錐と、残りの立体（四角錐台）の $2$ つに分けたところ、小さい正四角錐と四角錐台の体積の比が $1:7$ になった。このとき、四角錐台の側面積（側面の $4$ つの台形の面積の和）は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。

1 辺が $12$ cm の正方形 $\mathrm{ABCD}$ があり、頂点は $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ の順に並んでいる。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発して辺 $\mathrm{AB}$ 上を $\mathrm{B}$ に向かって毎秒 $1$ cm の速さで動き、点 $\mathrm{Q}$ は点 $\mathrm{P}$ と同時に頂点 $\mathrm{B}$ を出発して辺 $\mathrm{BC}$ 上を $\mathrm{C}$ に向かって毎秒 $2$ cm の速さで動く。2 点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ は、出発してから $6$ 秒後に同時に止まるものとする。$△\mathrm{DPQ}$ の面積が $64{\mathrm{cm}}^2$ になるのは、出発してから何秒後か。考えられるものをすべて求めよ。

三角柱 $\mathrm{ABC}\text{-}\mathrm{DEF}$ があります。底面 $\mathrm{ABC}$ は $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$、$\mathrm{AB}=6\text{cm}$、$\mathrm{BC}=8\text{cm}$ の直角三角形で、側面はすべて長方形であり、$\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}=12\text{cm}$ です（$\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ は底面に垂直です）。

辺 $\mathrm{AD}$ 上に $\mathrm{AP}=4\text{cm}$ となる点 $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{BE}$ 上に $\mathrm{BQ}=10\text{cm}$ となる点 $\mathrm{Q}$、辺 $\mathrm{CF}$ 上に $\mathrm{CR}=7\text{cm}$ となる点 $\mathrm{R}$ をとります。

この三角柱を 3 点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ を通る平面で 2 つの立体に切り分けたとき、頂点 $\mathrm{D}$ を含む方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

へこみのない四角形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいて、面積は $120{\text{cm}}^2$ です。次のように 4 つの点をとります。

• 辺 AB 上に点 P を、AP の長さと PB の長さの比が $1:2$ となるようにとる
• 辺 BC の真ん中の点を Q とする
• 辺 CD 上に点 R を、CR の長さと RD の長さの比が $1:2$ となるようにとる
• 辺 DA の真ん中の点を S とする

このとき、四角形 PQRS の面積は何 cm² ですか。

辺 AB の長さが 6 cm、辺 BC の長さが 10 cm の長方形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいます。半径 1 cm の円が、長方形の外側を、いつも長方形の周にふれながらすべらずに転がって 1 周し、もとの位置にもどります。このとき、円が通った部分の面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

1 辺の長さが 6 cm の正方形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいます。点 A を中心とする半径 6 cm の円の弧のうち、正方形の内部を通って B と D を結ぶ弧をかきます。また、点 C を中心とする半径 6 cm の円の弧のうち、正方形の内部を通って B と D を結ぶ弧をかきます。この 2 つの弧で囲まれた部分の面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

直方体 ABCD-EFGH があります。上の面は長方形 ABCD、下の面は長方形 EFGH で、頂点 E、F、G、H はそれぞれ頂点 A、B、C、D の真下にあります。辺の長さは AB = 12 cm、AD = 6 cm、AE = 8 cm です。

この直方体の 4 つの頂点 B、D、E、G を頂点とする三角すい BDEG の体積は何 cm³ ですか。

$AD\parallel BC$、$AD=4\text{cm}$、$BC=10\text{cm}$ の台形 $ABCD$ があります。対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $O$ とすると、$△AOD$ の面積は $8{\text{cm}}^2$ でした。点 $O$ を通り辺 $BC$ に平行な直線と、辺 $AB$, $CD$ との交点をそれぞれ $P$, $Q$ とします。このとき、四角形 $PBCQ$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。