平面図形の問題

(1) おうぎ形 OAB の面積
$$12\times 12\times 3.14\times \frac{150}{360}=452.16\times \frac{5}{12}=188.4({\text{cm}}^2)$$

(2) 三角形 OAB の面積

辺 OA を底辺とみます。直線 OA を O の側にのばし、点 B からその直線に垂線 BH を引きます。角 AOB が $150$ 度なので、角 BOH は
$$180-150=30(\text{度})$$
です。

三角形 BOH は、角 BHO が $90$ 度、角 BOH が $30$ 度、角 OBH が $60$ 度の直角三角形です。この形の三角形は、正三角形を半分にした形なので、いちばん短い辺 BH はいちばん長い辺 OB の半分になります。よって
$$BH=12÷2=6(\text{cm})$$
です。

三角形 OAB の面積は、底辺 OA $=12\text{cm}$、高さ BH $=6\text{cm}$ なので
$$12\times 6÷2=36({\text{cm}}^2)$$
です。

(3) 求める面積
$$188.4-36=152.4({\text{cm}}^2)$$

答え: $152.4{\text{cm}}^2$

弧 AB と線分 AB で囲まれた部分の面積は、おうぎ形 OAB の面積から三角形 OAB の面積を引いて求めます。

おうぎ形 OAB の面積は $12\times 12\times 3.14\times \frac{150}{360}=144\times 3.14\times \frac{5}{12}=60\times 3.14=188.4$ cm² です。

三角形 OAB は OA = OB $=12$ cm で、角 AOB $=150$ 度です。点 A から直線 OB に垂線 AH を下ろします。角 AOH $=180-150=30$ 度で、三角形 OAH は 30 度・60 度・90 度の直角三角形（正三角形を半分にした形）なので、AH は OA の半分の 6 cm です。三角形 OAB の面積は、底辺 OB $=12$ cm、高さ AH $=6$ cm で、$12\times 6÷2=36$ cm² です。

よって求める面積は $188.4-36=152.4$ cm² です。
確かめ: 円全体の $\frac{150}{360}=\frac{5}{12}$ を使って、円の面積 $144\times 3.14=452.16$ の $\frac{5}{12}$ は $452.16÷12\times 5=37.68\times 5=188.4$。一致します。