平面図形の問題

まず、ひもで囲まれた部分全体の面積を求めます。

ひもで囲まれた部分は、次の 3 種類に分けられます。
(1) 4 つの円の中心を頂点とする、1 辺 4 cm の正方形: $4\times 4=16$ (cm²)
(2) 正方形の各辺の外側にある、たて 2 cm（半径）、よこ 4 cm の長方形 4 つ: $4\times 2\times 4=32$ (cm²)
(3) 正方形の 4 つの頂点のまわりにある、半径 2 cm、中心角 90 度のおうぎ形 4 つ。合わせると半径 2 cm の円 1 つ分: $2\times 2\times 3.14=12.56$ (cm²)

ひもで囲まれた部分全体の面積は
$$16+32+12.56=60.56{\text{ (cm}}^2\text{)}$$

次に、4 つの円の面積の合計は
$$2\times 2\times 3.14\times 4=50.24{\text{ (cm}}^2\text{)}$$

となり合う円は、中心どうしの距離が 4 cm で半径の和と等しいので、1 点でふれ合うだけで重なりません。また、4 つの円はすべてひもの内側にあります。

したがって、どの円にもふくまれない部分の面積は
$$60.56-50.24=10.32{\text{ (cm}}^2\text{)}$$

答えは $10.32$ cm² です。

円の中心は 1 辺 4 cm の正方形の頂点で、円の半径は 2 cm なので、となり合う円はちょうど 1 点でふれ合い、重なりません。ひもで囲まれた部分は、次の 3 種類に分けられます。
・中心を結んだ正方形（1 辺 4 cm）: $4\times 4=16$ cm²
・正方形の各辺の外側にある長方形（たて 4 cm、よこ 2 cm）が 4 つ: $4\times 2\times 4=32$ cm²
・各頂点のまわりのおうぎ形（半径 2 cm、中心角 90 度）が 4 つ: 合わせて半径 2 cm の円 1 つ分で $2\times 2\times 3.14=12.56$ cm²
ひもで囲まれた部分の全体は $16+32+12.56=60.56$ cm² です。
4 つの円の面積の合計は $2\times 2\times 3.14\times 4=50.24$ cm² で、円どうしは重なりません。よって円にふくまれない部分は $60.56-50.24=10.32$ cm² です。
確かめ: 整数部分と円周率の部分に分けると、$16+32-16\times$ ではなく、$48+4\times 3.14-16\times 3.14=48-12\times 3.14=48-37.68=10.32$。一致します。