平面図形の問題

円が通った部分の面積は、長方形の面積から、円が通らなかった部分の面積をひいて求めます。

円の直径は $1\times 2=2$ cm です。

(1) 長方形の面積
$$6\times 9=54{\text{ (cm}}^2\text{)}$$

(2) まん中の通らなかった部分
円は辺にそって動くので、各辺から 2 cm（直径）のはばの部分を通ります。まん中に残る通らなかった部分は、たて $6-2\times 2=2$ cm、よこ $9-2\times 2=5$ cm の長方形です。
$$2\times 5=10{\text{ (cm}}^2\text{)}$$

(3) 4 つの角の通らなかった部分
円が長方形の角に入ったとき、円は 2 つの辺にふれていて、角の頂点まではとどきません。角の頂点の近くには、1 辺 1 cm（半径）の正方形から、半径 1 cm、中心角 90 度のおうぎ形を取りのぞいた部分が残ります。1 つの角あたり
$$1\times 1-1\times 1\times 3.14\times \frac{90}{360}=1-0.785=0.215{\text{ (cm}}^2\text{)}$$
4 つの角で $0.215\times 4=0.86$ (cm²) です。

(4) 円が通った部分
$$54-10-0.86=43.14{\text{ (cm}}^2\text{)}$$

答えは $43.14$ cm² です。

円が辺にふれながら内側を 1 周するとき、円が通る部分は長方形の内側の、辺から幅 2 cm（円の直径）の帯のような部分です。ただし 4 すみでは、円は 2 つの辺に同時にふれるので、すみの小さな部分は通りません。

まず、通らない中央の長方形を求めます。たては $6-2\times 2=2$ cm、よこは $9-2\times 2=5$ cm なので、面積は $2\times 5=10$ cm² です。
長方形全体の面積は $6\times 9=54$ cm² です。よって、帯の部分は $54-10=44$ cm² です。
次に、4 つのすみで円が通らない部分を引きます。すみには、1 辺 1 cm（円の半径）の正方形から、半径 1 cm の四分円を取りのぞいた形が残ります。その面積は $1\times 1-1\times 1\times 3.14÷4=1-0.785=0.215$ cm² で、4 つ分で $0.215\times 4=0.86$ cm² です。
したがって円が通った部分の面積は $44-0.86=43.14$ cm² です。
確かめ: 円の中心が動く長方形（たて 4 cm、よこ 7 cm）のまわりに幅 1 cm の帯をつけた図形の面積で考える。$(4+7)\times 2\times$ 幅 $2$ ではなく、中心の動く線の外側と内側にそれぞれ幅 1 cm で、外側の 4 すみは四分円なので外側: $4\times 7+(4+7)\times 2\times 1+3.14=28+22+3.14=53.14$、内側の通らない部分: $2\times 5=10$ なので $53.14-10=43.14$ cm²。一致します。