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転がる円の通った部分

円が多角形の辺の外側や内側にそって転がるとき、円の中心が動く道のりと円が通った部分の面積を、長方形とおうぎ形に分けて求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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一覧で見る（前提が先）
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  6. 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
  7. 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
  8. 円やおうぎ形を組み合わせた図形の面積 （算数 平面図形）

説明

円（コインや輪など）が多角形の辺にそって、すべらずにぴったりついたまま転がるとき、円の中心が動いた道のりや、円が通った部分の面積を求められるようになります。通った部分を「辺にそって動くところ（長方形）」と「角をまわるところ（おうぎ形）」に分けて考えるのがポイントです。中学入試でよく出る「図形の移動」の代表的な問題です。

なぜそうしてよいのか

円が辺にそってまっすぐ転がっている間、円の中心は辺からいつも半径の長さだけはなれたまま、辺と平行に動きます。だから中心は辺と同じ長さだけまっすぐ進み、円が通った部分は「辺の長さ × 円の直径」の長方形になります。

円が辺にふれている点と円の中心を結ぶ半径は、いつも辺に垂直です（円は辺にぴったりくっついているだけで、辺に食いこんでいないからです）。円が頂点まで来たとき、円は頂点でふれているので、この長方形の端は、頂点のところで辺に垂直な線になります。つまり、長方形の端の角は です。

円が多角形の外側を転がって頂点に来ると、円は頂点にくっついたまま、頂点を中心にくるりとまわって次の辺に移ります。このとき円の中心は、頂点を中心とする半径（円の半径）のおうぎ形の弧をえがき、円が通った部分は、頂点を中心とする半径（円の直径）のおうぎ形になります。頂点のまわりは で、そのうち 2 つの長方形の端が ずつ、多角形の角の分をしめているので、おうぎ形の中心角は です。たとえば正方形なら で 4 つ合わせて 、正三角形なら で 3 つ合わせて となり、どちらも角の部分を集めるとちょうど円 1 つ分になります。

円が長方形の内側を転がるときは、円が入るために、長方形のたても横も円の直径以上でなければなりません。中心は角のところでまがるだけで、まわりこみはしません。中心は長方形から半径の分だけ内側に入った小さな長方形（たて・よこがそれぞれ直径の分だけ短い）の上を動きます。円が通った部分は、長方形全体から、次の 2 つをのぞいたものです。1 つは、円がとどかない真ん中の長方形（たて・よこがそれぞれ直径 2 つ分だけ短い。どちらかが 0 以下なら真ん中の部分はありません）。もう 1 つは、4 つのすみに残る「1 辺が円の半径の正方形から、半径が円の半径と同じ四分円（円の 4 分の 1）をひいた部分」です。円はすみにぴったり入りこめず、丸い部分がすみに届かないので、この部分が残ります。

手順

  1. 円が外側を転がるのか内側を転がるのか、円の半径と多角形の辺の長さを確かめる（内側のときは、辺が円の直径以上あって円が入ることも確かめる）

  2. 辺にそって動く部分を考える。中心は辺と同じ長さだけ進み、通った部分は「辺の長さ × 円の直径」の長方形になる。円がふれる点への半径は辺に垂直なので、長方形の端の角は

  3. 外側を転がるときは角の部分を考える。中心は頂点を中心とする半径（円の半径）のおうぎ形の弧を、通った部分は半径（円の直径）のおうぎ形をえがく。中心角は （正方形なら が 4 つ、正三角形なら が 3 つで、どちらも合わせて円 1 つ分）

  4. 長方形の内側を転がるときは、中心は たて・よこ が直径の分だけ短い長方形の上を動く。通った部分は、長方形全体から、円がとどかない真ん中の長方形（たて・よこ が直径 2 つ分だけ短い）と、4 つのすみの「1 辺が円の半径の正方形から、半径が円の半径と同じ四分円（円の 4 分の 1）をひいた部分」をのぞいて求める

  5. それぞれの部分を計算して、たしたりひいたりする（道のりなら直線部分 + 弧の長さ、外側の面積なら長方形 + おうぎ形、内側の面積なら全体 − 真ん中 − すみ）

例題

1 辺が 5 cm の正方形があります。半径 1 cm の円が、この正方形の辺にそって外側をすべらずに転がり、1 周してもとの位置にもどりました。円が通った部分の面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

例題の解答

【手順 1】円は正方形の外側を転がります。円の半径は 1 cm なので直径は 2 cm、正方形の 1 辺は 5 cm です。

【手順 2】辺にそって動く部分は、たて 5 cm、よこ 2 cm（円の直径）の長方形が 4 つです。面積は (cm²) です。

【手順 3】角の部分は、正方形の頂点を中心とする半径 2 cm（円の直径）のおうぎ形です。中心角は で、これが 4 つあるので合わせて 、つまり半径 2 cm の円 1 つ分です。面積は (cm²) です。

【手順 5】たし合わせて、 (cm²) です。

答えは 52.56 cm² です。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題