平面図形の問題

円の中心は、正三角形の辺から $2\text{cm}$ はなれたところを動きます。

(1) 辺にそって動く部分

円が 1 つの辺にそって転がるとき、円の中心はその辺と平行に、辺と同じ長さだけまっすぐ動きます。3 つの辺で
$$10\times 3=30(\text{cm})$$
です。

(2) 頂点のまわりを回る部分

円が正三角形の頂点のところに来ると、円はその頂点にふれたまま回り、円の中心は頂点を中心とする半径 $2\text{cm}$ のおうぎ形の弧をえがきます。

1 つの頂点で中心が回る角度は、$360$ 度から、正三角形の角 $60$ 度と、辺に垂直な方向の $90$ 度 2 つ分を引いて
$$360-60-90-90=120(\text{度})$$
です。3 つの頂点を合わせると
$$120\times 3=360(\text{度})$$
となり、ちょうど半径 $2\text{cm}$ の円 1 周分になります。その長さは
$$2\times 2\times 3.14=12.56(\text{cm})$$
です。

(3) 合計
$$30+12.56=42.56(\text{cm})$$

答え: $42.56\text{cm}$

円の中心が動いたあとの線は、正三角形の各辺から 2 cm はなれた 3 本の線分と、3 つの頂点のまわりの円の弧からできています。

・各辺にそった部分は、辺と平行で長さが辺と同じ 10 cm の線分が 3 本です。合わせて $10\times 3=30$ cm です。
・各頂点のまわりでは、半径 2 cm の弧になります。正三角形の内角は 60 度なので、頂点のまわりの外側の角は 360 度から、内角 60 度と、両側の辺に垂直な 2 本の半径の分 $90\times 2=180$ 度を引いた $360-60-180=120$ 度です。つまり中心角 120 度の弧が 3 つで、合わせて $120\times 3=360$ 度、半径 2 cm の円 1 周分になります。その長さは $2\times 2\times 3.14=12.56$ cm です。
中心が動いた線の長さは $30+12.56=42.56$ cm です。
確かめ: 中心が動いた線は、もとの正三角形の周 30 cm に、円の中心が 1 周するときの円周 12.56 cm をたした長さになる（外側を転がる円の中心は、図形の周に半径 2 cm の円周を加えた長さ）。一致します。