円やおうぎ形を組み合わせた図形の面積

正方形・長方形・三角形とおうぎ形の面積をたしたりひいたりして、弧で囲まれた部分の面積やひもで囲まれた部分の面積を求められる

前提

おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）

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算数中学高校大学大学院

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小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）

説明

曲線（円の弧）と直線で囲まれた、そのままでは公式が使えない図形の面積を、正方形・長方形・三角形・おうぎ形といった公式で求められる図形の面積をたしたりひいたりして求める方法です。正方形の中に 2 本の弧をかいてできる葉っぱのような形や、円の一部を切り取った形、何本かの円柱をひもで束ねたときにひもの内側にできる形などの面積を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

面積には「重ならないように 2 つに分けたら、全体の面積は 2 つの面積の和になる」という性質があります。だから、求めたい部分が公式で求められる図形からはみ出した残りなら、大きい図形の面積から余分な部分の面積をひけばよく、公式の使える図形をいくつか合わせた形なら、それぞれの面積をたせばよいのです。

たとえば、正方形の中で 2 つの四分円（中心角 90 度のおうぎ形）が重なった部分を考えます。2 つの四分円の面積をたすと、正方形全体をおおったうえに、重なった部分を 2 回数えたことになります。だから「四分円＋四分円－正方形」が、ちょうど重なった部分 1 回分の面積になります。このように、どの部分を何回数えたかを確かめながら、たし算・ひき算の式を組み立てます。

ひもで円を束ねた問題も同じ考え方です。ひもの内側を、(1) 円の中心どうしを結んでできる図形、(2) ひものまっすぐな部分と中心を結ぶ線の間にできる外側の長方形、(3) ひもが円に沿って曲がっている部分のおうぎ形、の 3 種類に、重ならずすき間なく分ければ、面積はそれらの和になります。たとえば、半径 5 cm の円 4 つを、たて 2 つ・横 2 つにぴったりくっつけて並べ、ひもで束ねたとします。(1) 中心を結ぶと 1 辺 10 cm の正方形で面積は $10 \times 10 = 100$ (cm²)。(2) 正方形の 4 つの辺の外側に、たて 5 cm・横 10 cm の長方形が 1 つずつあり、面積は $10 \times 5 \times 4 = 200$ (cm²)。(3) それぞれの円の中心のまわりには、正方形の角 90 度と、両どなりの長方形の角 90 度ずつがあるので、おうぎ形の中心角は $360 - 90 - 90 - 90 = 90$ 度です。半径 5 cm、中心角 90 度のおうぎ形が 4 つで、ちょうど円 1 つ分の $5 \times 5 \times 3.14 = 78.5$ (cm²)。合わせて $100 + 200 + 78.5 = 378.5$ (cm²) です。

計算では、3.14 をかける部分をまとめておくと（たとえば $10 \times 10 \times 3.14 \div 4 \times 2 = 50 \times 3.14$ ）、計算が楽になりまちがいも減ります。

手順

求めたい部分が、どんな正方形・長方形・三角形・おうぎ形の組み合わせでできているかを見つける（各おうぎ形の中心・半径・中心角を確かめる。中心角がわからないときは、360 度から中心のまわりのほかの角をひいて求める）
求めたい部分の面積を、それらの図形の面積のたし算・ひき算の式で表す。重なりや、2 回数えた部分がないかを確かめる（例: 葉っぱ形＝四分円 × 2 －正方形）
それぞれの図形の面積を求める。おうぎ形は半径 × 半径 × 3.14 ×（中心角 ÷ 360）、三角形は底辺 × 高さ ÷ 2 など
式にしたがって計算する。3.14 をかける部分はまとめてから計算すると楽になる

例題

1 辺が 10 cm の正方形 ABCD があります。頂点 B を中心として半径 10 cm の円の一部を、頂点 A から頂点 C まで正方形の内側にかきます。同じように、頂点 D を中心として半径 10 cm の円の一部を、頂点 A から頂点 C まで正方形の内側にかきます。この 2 本の弧で囲まれた部分の面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。

例題の解答

【手順 1】頂点 B を中心とする弧と辺 BA・辺 BC で、半径 10 cm、中心角 90 度のおうぎ形（四分円）ができます。頂点 D を中心とする弧でも同じ大きさの四分円ができます。どちらも正方形の中にあり、2 本の弧で囲まれた部分は、この 2 つの四分円が重なった部分です。

【手順 2】2 つの四分円の面積をたすと、正方形全体をおおい、重なった部分だけを 2 回数えています。だから、求める面積は「四分円 × 2 －正方形」です。

【手順 3】四分円 1 つの面積は $10 \times 10 \times 3.14 \times \frac{90}{360} = 25 \times 3.14$ (cm²)、正方形の面積は $10 \times 10 = 100$ (cm²) です。

【手順 4】 $25 \times 3.14 \times 2 - 100 = 50 \times 3.14 - 100 = 157 - 100 = 57$ (cm²)

答え: 57 cm²

答え: $57$

よくある誤り

重なった部分を 2 回数えたことを忘れ、四分円 1 つから三角形 ABC（正方形の半分で $10 \times 10 \div 2 = 50$ ）をひいて終わってしまう誤り（葉っぱ形を $78.5 - 50 = 28.5$ とする）。これは葉っぱ形の半分なので、正しくは $78.5 \times 2 - 100 = 57$ （または $28.5 \times 2 = 57$ ）
直径を半径として使ってしまう誤り（直径 10 cm の半円の面積を $10 \times 10 \times 3.14 \div 2$ とする）。正しくは半径は 5 cm なので $5 \times 5 \times 3.14 \div 2 = 39.25$
中心角の割合をかけ忘れる誤り（中心角 90 度のおうぎ形を $10 \times 10 \times 3.14 = 314$ とする）。正しくは $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ をかけて $314 \div 4 = 78.5$
ひもで束ねた問題で、円の中心どうしを結んだ図形や外側の長方形の面積を入れ忘れ、おうぎ形の部分だけをたしてしまう誤り（半径 5 cm の円 4 つを 2 つずつ 2 列に束ねたとき、78.5 cm² とする）。正しくはひもの内側＝中心を結んだ図形＋外側の長方形＋おうぎ形なので $100 + 200 + 78.5 = 378.5$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
1 辺の長さが 10 cm の正方形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいます。頂点 B を中心とする半径 10 cm の円の弧のうち、正方形の内部を通って頂点 A と頂点 C を結ぶ弧 AC をかきます。正方形の内部のうち、辺 AD、辺 DC、弧 AC の 3 つで囲まれた部分（頂点 D をふくむ側の部分）の面積は何 cm² ですか。円周率は 3.14 とします。
$A$ $B$ $C$ $D$ 10 cm

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

転がる円の通った部分（算数平面図形）
弧と線分で囲まれた図形の面積（中学数学平面図形）