平面図形の問題

$\mathrm{AB}$ の長さ

三平方の定理より

$$\mathrm{AB}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10(\text{cm})$$

辺 $\mathrm{BC}$ が通過する部分の形

$\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ }$ なので、辺 $\mathrm{BC}$ 上の点のうち $\mathrm{A}$ に最も近いのは $\mathrm{C}$（距離 $8\text{cm}$）、最も遠いのは $\mathrm{B}$（距離 $10\text{cm}$）である。回転するとき、点 $\mathrm{B}$ は $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $10\text{cm}$ の弧 $\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$ をえがき、点 $\mathrm{C}$ は半径 $8\text{cm}$ の弧 $\mathrm{C}{\mathrm{C}}^{\prime }$ をえがく。

したがって、辺 $\mathrm{BC}$ が通過する部分は、はじめの辺 $\mathrm{BC}$、弧 $\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$、回転後の辺 ${\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$、弧 ${\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{C}$ の 4 つで囲まれた図形である。

この図形は、次のように考えられる。

• 線分 $\mathrm{AC}$、線分 $\mathrm{CB}$、弧 $\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$、線分 ${\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{A}$ で囲まれた図形は、$△\mathrm{ABC}$ とおうぎ形 $\mathrm{AB}{\mathrm{B}}^{\prime }$（半径 $10\text{cm}$、中心角 $90^{\circ }$）を、辺 $\mathrm{AB}$ でつなげたものである。
• 線分 $\mathrm{AC}$、弧 $\mathrm{C}{\mathrm{C}}^{\prime }$、線分 ${\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$、線分 ${\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{A}$ で囲まれた図形は、おうぎ形 $\mathrm{AC}{\mathrm{C}}^{\prime }$（半径 $8\text{cm}$、中心角 $90^{\circ }$）と $△\mathrm{A}{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ を、辺 $\mathrm{A}{\mathrm{C}}^{\prime }$ でつなげたものである。

2 つ目の図形は 1 つ目の図形の内側にあり、1 つ目の図形から 2 つ目の図形を除くと、辺 $\mathrm{BC}$、弧 $\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$、辺 ${\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$、弧 ${\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{C}$ で囲まれた図形、つまり辺 $\mathrm{BC}$ が通過する部分が残る。

よって

$$(\text{求める面積})=△\mathrm{ABC}+(\text{おうぎ形}\mathrm{AB}{\mathrm{B}}^{\prime })-(\text{おうぎ形}\mathrm{AC}{\mathrm{C}}^{\prime })-△\mathrm{A}{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$$

面積

$△\mathrm{A}{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ は $△\mathrm{ACB}$ を回転させたものなので合同で、面積は等しい。よって三角形の面積は打ち消し合い

$$(\text{求める面積})=\pi \times 10^2\times \frac{90}{360}-\pi \times 8^2\times \frac{90}{360}=25\pi -16\pi =9\pi ({\text{cm}}^2)$$

${\mathrm{AB}}^2=8^2+6^2=100$ より $\mathrm{AB}=10\text{cm}$。\n辺 $\mathrm{BC}$ 上の点と点 $\mathrm{A}$ の距離は、$\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ }$ なので、$\mathrm{C}$ で最小の $8\text{cm}$、$\mathrm{B}$ で最大の $10\text{cm}$ となり、$\mathrm{C}$ から $\mathrm{B}$ へ進むにつれて距離は一様に増える(同じ距離の点は辺 $\mathrm{BC}$ 上に 1 つだけ)。\n\n辺 $\mathrm{BC}$ 上の各点は、$\mathrm{A}$ を中心に $90^{\circ }$ だけ回転して半径が $8$ から $10$ の円弧をえがく。同じ半径の円弧上の点は辺 $\mathrm{BC}$ 上に 1 つだけなので、半径 $r$ ($8\le r\le 10$) の円の上で通過する部分はちょうど中心角 $90^{\circ }$ 分である。したがって通過する部分は、半径 $10\text{cm}$ の円と半径 $8\text{cm}$ の円にはさまれたドーナツ形の $90^{\circ }$ 分 ($\frac{1}{4}$) と面積が等しい。\n\n(実際には、$△\mathrm{ABC}$ のうち半径 $8$ の円の外側にある部分と、$△\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$ のうち半径 $8$ の円の外側にある部分、およびおうぎ形 $\mathrm{BA}{\mathrm{B}}^{\prime }$ のうち半径 $8$ の円の外側にある部分を合わせた形で、おうぎ形 $\mathrm{BA}{\mathrm{B}}^{\prime }$ − おうぎ形 $\mathrm{CA}{\mathrm{C}}^{\prime }$ + $△\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$ − $△\mathrm{ABC}$ の考え方でも、$△\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }=△\mathrm{ABC}$ より同じになる。)\n\n面積 $=\pi \times 10^2\times \frac{1}{4}-\pi \times 8^2\times \frac{1}{4}=25\pi -16\pi =9\pi {\text{cm}}^2$。\n\n確かめ: $\frac{1}{4}\pi (10^2-8^2)=\frac{36\pi }{4}=9\pi$。