平面図形の問題

正六角形の 1 つの内角

六角形の内角の和は $180^{\circ }\times (6-2)=720^{\circ }$ なので、正六角形の 1 つの内角は

$$720^{\circ }÷6=120^{\circ }$$

よって $\angle \mathrm{BCD}=120^{\circ }$。また、正方形の内角なので $\angle \mathrm{DCH}=90^{\circ }$。

$\angle \mathrm{BCH}$

点 $\mathrm{C}$ のまわりの角の和は $360^{\circ }$ で、正方形は正六角形の外側にあるので

$$\angle \mathrm{BCH}=360^{\circ }-120^{\circ }-90^{\circ }=150^{\circ }$$

$\angle \mathrm{CBH}$

$\mathrm{CB}$ は正六角形の 1 辺、$\mathrm{CH}$ は正方形の 1 辺で、どちらも $\mathrm{CD}$ と等しいから $\mathrm{CB}=\mathrm{CH}$。よって $△\mathrm{CBH}$ は二等辺三角形で、底角は等しいから

$$\angle \mathrm{CBH}=\frac{180^{\circ }-150^{\circ }}{2}=15^{\circ }$$

正六角形の 1 辺の長さを 1 とする。正方形 CDGH の頂点は C, D, G, H の順なので、H は C のとなりの頂点で、$\mathrm{CH}=\mathrm{CD}=1$、$\angle \mathrm{DCH}=90^{\circ }$。

正六角形の内角は $180^{\circ }\times (6-2)÷6=120^{\circ }$ なので $\angle \mathrm{BCD}=120^{\circ }$。

点 C のまわりの角の和は $360^{\circ }$。正六角形の内側が $120^{\circ }$、正方形の内側が $90^{\circ }$ で、BC と CH の間の(正六角形・正方形のどちらにもふくまれない)角は $\angle \mathrm{BCH}=360^{\circ }-120^{\circ }-90^{\circ }=150^{\circ }$。

$\mathrm{BC}=1$、$\mathrm{CH}=1$ より $△\mathrm{CBH}$ は二等辺三角形。底角は $(180^{\circ }-150^{\circ })÷2=15^{\circ }$。

よって $\angle \mathrm{CBH}=15^{\circ }$。

検算: $△\mathrm{BCH}$ の内角の和は $15^{\circ }+15^{\circ }+150^{\circ }=180^{\circ }$ で正しい。