二等辺三角形の角

二等辺三角形の底角が等しいことを使い、 $AD = DE = EB = BC$ のように等しい線分が続く図形で、角を文字でおいて角の大きさを求められる

前提

三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）

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算数中学高校大学大学院

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三角形の角の大きさ（算数平面図形）
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三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
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1 次方程式の解き方（中学数学方程式）

説明

2 つの辺の長さが等しい三角形（二等辺三角形）では、等しい辺に向かい合う 2 つの角（底角）が等しいことを使って、角の大きさを求められるようになります。特に、 $A D = D E = E B = B C$ のように等しい長さの線分が次々に続く図形では、二等辺三角形がいくつもでき、ある角を $x$ とおくと他の角が順に $x$ の式で表せます。最後に三角形の角の和を使って方程式を立てれば、角の大きさが決まります。

なぜそうしてよいのか

二等辺三角形 $A B C$ で $A B = A C$ のとき、頂点 $A$ の角を半分に分ける線で三角形を折り返すと、辺 $A B$ と辺 $A C$ は長さが同じなので、 $B$ と $C$ がぴったり重なります。だから $∠ B$ と $∠ C$ も重なり、 $∠ B = ∠ C$ です。等しい 2 辺にはさまれた角を頂角、残りの 2 つの角を底角といいます。底角は「等しい辺の向かい側の角」と覚えておくと、図形がどんな向きでも見つけられます。

等しい線分が続く図形では、1 つの二等辺三角形の底角を $x$ とおくと、外角の性質（外角はとなり合わない 2 つの内角の和）からとなりの三角形の角が $2 x$ などと表せます。その角が次の二等辺三角形の底角になり、さらに次の角が決まる、というように角が連鎖して $x$ の式で表されます。最後に、ある三角形の 3 つの角の和が $18 0^{\circ}$ であることから $x$ についての 1 次方程式ができ、それを解けば角が求まります。

手順

等しい長さの辺の組を見つけ、それぞれの二等辺三角形で底角（等しい辺の向かい側の角）がどれかを確認する
求めたい角や、連鎖の出発点になる角を $x$ とおく
二等辺三角形の底角が等しいことと、外角の性質（外角 $=$ となり合わない 2 つの内角の和）を使って、他の角を順に $x$ の式で表す
1 つの三角形の 3 つの角の和が $18 0^{\circ}$ になることから、 $x$ の 1 次方程式を立てる
方程式を解いて $x$ を求め、求めたい角を答える

例題

$A B = A C$ の二等辺三角形 $A B C$ がある。辺 $A C$ 上に、 $A$ 、 $C$ と異なる点 $D$ を、 $A D = B D = B C$ となるようにとる。 $∠ B A C$ の大きさは何度か求めよ。

例題の解答

手順 1: 等しい辺の組は $A D = B D$ 、 $B D = B C$ 、 $A B = A C$ の 3 つ。三角形 $D A B$ では $A D = B D$ なので $∠ D A B = ∠ D B A$ 。三角形 $B D C$ では $B D = B C$ なので $∠ B D C = ∠ B C D$ 。三角形 $A B C$ では $A B = A C$ なので $∠ A B C = ∠ A C B$ 。

手順 2: $∠ B A C = x^{\circ}$ とおく。

手順 3: 三角形 $D A B$ で $∠ D B A = ∠ D A B = x^{\circ}$ 。 $D$ は辺 $A C$ 上にあるので、 $∠ B D C$ は三角形 $D A B$ の $D$ における外角であり、 $∠ B D C = x^{\circ} + x^{\circ} = 2 x^{\circ}$ 。三角形 $B D C$ で $∠ B C D = ∠ B D C = 2 x^{\circ}$ 、つまり $∠ A C B = 2 x^{\circ}$ 。三角形 $A B C$ で $∠ A B C = ∠ A C B = 2 x^{\circ}$ 。

手順 4: 三角形 $A B C$ の角の和から
$x + 2 x + 2 x = 180$

手順 5: $5 x = 180$ より $x = 36$ 。よって $∠ B A C = 3 6^{\circ}$ 。

答え: $36$

よくある誤り

等しい辺の「はさむ角」を底角と取り違える誤り（例: $A D = B D$ の三角形で $∠ D A B = ∠ A D B$ とする）。正しくは、底角は等しい辺の向かい側の角で、 $A D$ の向かいは $∠ D B A$ 、 $B D$ の向かいは $∠ D A B$ なので $∠ D A B = ∠ D B A$ 。
$D$ のところの 2 つの角 $∠ A D B$ と $∠ B D C$ を取り違える誤り。例題で三角形 $D A B$ の内角の式 $18 0^{\circ} - 2 x^{\circ}$ を $∠ B D C$ としたり、 $∠ B D C = x^{\circ}$ や $∠ B D C = 18 0^{\circ} - x^{\circ}$ としたりするのは誤り。正しくは、三角形 $D A B$ の内角が $∠ A D B = 18 0^{\circ} - 2 x^{\circ}$ で、 $∠ B D C$ はその外角なので、となり合わない 2 つの内角の和として $∠ B D C = ∠ D A B + ∠ D B A = x^{\circ} + x^{\circ} = 2 x^{\circ}$ （ $18 0^{\circ} - (18 0^{\circ} - 2 x^{\circ}) = 2 x^{\circ}$ とも一致する）。
$∠ A B C = 2 x^{\circ}$ を、三角形 $D A B$ の角 $∠ A B D = x^{\circ}$ と同じだと考えてしまう誤り。正しくは $∠ A B C = ∠ A B D + ∠ D B C$ で、 $∠ A B D = x^{\circ}$ は $∠ A B C$ の一部にすぎない。 $∠ A B C$ は $A B = A C$ の底角として $∠ A C B = 2 x^{\circ}$ と等しい。
方程式を解いて得た $x$ をそのまま答えにし、求めたい角が $2 x^{\circ}$ などのときに式に代入し忘れる誤り。例題で $∠ A B C$ を問われたら、 $x = 36$ ではなく $2 \times 36 = 72$ より $7 2^{\circ}$ と答える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$AB = AC$ の二等辺三角形 $ABC$ があります。 $∠ BAC = 4 0^{\circ}$ のとき、 $∠ ABC$ の大きさは何度ですか。
$A$ $B$ $C$ $4 0^{\circ}$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

多角形の角の応用（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
円周角の定理（中学数学平面図形）