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三角形の外角と角の組み合わせ

三角形の外角はそれととなり合わない 2 つの内角の和に等しいことを使い、ブーメラン形・星形・2 直線の交わりなどの角の大きさを求められる

前提

• 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 求めたい角と、わかっている角をはっきりさせる

2. 求めたい角を外角としてもつ三角形を探す。見つからなければ、辺をのばして他の辺と交わらせ、三角形をつくる

3. 外角の性質「外角 $=$ となり合わない2つの内角の和」を使い、角の和を1つの角にまとめる

4. 必要なら別の三角形でも外角の性質をくり返し使い、求めたい角まで計算する

例題

よくある誤り

• 外角を、となり合う内角を含めた2つの内角の和としてしまう誤り（例: 三角形 $ABE$ で $\angle BEC=\angle ABE+\angle AEB$）。正しくは、となり合わない2つの内角の和で $\angle BEC=\angle BAE+\angle ABE=50^{\circ }+20^{\circ }=70^{\circ }$。

• ブーメラン形のへこんだ角を、四角形の内角の和 $360^{\circ }$ から引いて $360^{\circ }-(50^{\circ }+20^{\circ }+30^{\circ })=260^{\circ }$ と答えてしまう誤り。$260^{\circ }$ は点 $D$ の外側をまわる角で、求める $\angle BDC$ はもう一方の $360^{\circ }-260^{\circ }=100^{\circ }$。

• 外角を $180^{\circ }$ から内角の和を引いたものとして、$\angle BEC=180^{\circ }-(50^{\circ }+20^{\circ })=110^{\circ }$ としてしまう誤り。$110^{\circ }$ は内角 $\angle AEB$ のほうで、外角は $\angle BEC=50^{\circ }+20^{\circ }=70^{\circ }$。

• 星形の5つの先の角の和を、五角形の内角の和と同じ $540^{\circ }$ としてしまう誤り。正しくは、外角の性質で先の角を1つの三角形の3つの角に集められるので、和は $180^{\circ }$。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部に点 $\mathrm{D}$ があり、4 本の線分 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$, $\mathrm{CD}$ で、へこんだ四角形（ブーメラン形）ができています。

  $\angle \mathrm{BAC}=50^{\circ }$、$\angle \mathrm{ABD}=20^{\circ }$、$\angle \mathrm{ACD}=30^{\circ }$ のとき、$\angle \mathrm{BDC}$ の大きさは何度ですか。ただし、$\angle \mathrm{BDC}$ は三角形 $\mathrm{DBC}$ の内角（$180^{\circ }$ より小さい方の角）とします。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$50^{\circ }$$20^{\circ }$$30^{\circ }$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  正五角形 $\mathrm{ABCDE}$ において、対角線 $\mathrm{AC}$ と対角線 $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。

  $\angle \mathrm{APE}$ の大きさは何度か求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{P}$

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  円周上に 4 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ がこの順に並んでいる。線分 $\mathrm{AC}$ と線分 $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。$\angle \mathrm{ADB}=32^{\circ }$、$\angle \mathrm{APB}=78^{\circ }$ のとき、$\angle \mathrm{DAC}$ の大きさは何度か求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{P}$$32^{\circ }$$78^{\circ }$

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  正五角形 $\mathrm{ABCDE}$ において、対角線 $\mathrm{AC}$ と対角線 $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。$\angle \mathrm{APB}=x^{\circ }$ であるとき、$x$ の値を求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{P}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  $\angle \mathrm{ABC}=80^{\circ }$ の $△\mathrm{ABC}$ がある。辺 $\mathrm{AB}$ 上に点 $\mathrm{D}$、辺 $\mathrm{AC}$ 上に点 $\mathrm{E}$ があり、
  $$\mathrm{AD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EB}=\mathrm{BC}$$
  が成り立っている。このとき、$\angle \mathrm{BAC}$ の大きさは何度か求めよ。ただし、点 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$ は三角形の頂点とは異なる点とする。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$80^{\circ }$

この技能の次に学べること

• 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）