対頂角と平行線の同位角・錯角

対頂角が等しいこと、平行線の同位角・錯角が等しいことを使って、2 本の平行線と交わる直線や折れ線がつくる角の大きさを求められる

前提

三角形の角の大きさ（算数平面図形）

説明

2本の直線が交わるとできる「対頂角」と、2本の平行線に1本の直線が交わるとできる「同位角」「錯角」の性質を使って、わかっている角から別の角の大きさを求められるようになります。平行線の間を折れ曲がって進む線（折れ線）がつくる角も、補助の平行線を1本引けば同じ考え方で求められます。図形の角を求める問題の多くで、最初の一歩として使う技能です。

なぜそうしてよいのか

2本の直線が1点で交わると、4つの角ができます。向かい合う2つの角を対頂角といいます。対頂角の一方を $a$ 、もう一方を $b$ とし、その間にある角を $c$ とすると、どちらも $c$ と合わせて一直線（ $18 0^{\circ}$ ）になるので $a + c = 18 0^{\circ}$ 、 $b + c = 18 0^{\circ}$ です。よって $a = 18 0^{\circ} - c = b$ となり、対頂角はいつでも等しくなります。

2本の直線 $ℓ$ 、 $m$ に1本の直線 $n$ が交わるとき、 $ℓ$ との交わりと $m$ との交わりで「同じ位置」（たとえばどちらも交点の右上）にある角どうしを同位角、2直線 $ℓ$ 、 $m$ の内側で $n$ をはさんで反対側にある角どうしを錯角といいます。 $ℓ$ と $m$ が平行なら、 $ℓ$ を $n$ にそって平行にずらすと $m$ にぴったり重なるので、同位角は等しくなります。さらに、錯角の一方はもう一方の同位角の対頂角になっているので、錯角も等しくなります。

折れ線の角は、折れ曲がる点を通り $ℓ$ 、 $m$ に平行な直線を1本引くと、角が2つに分かれ、それぞれが錯角として $ℓ$ 側・ $m$ 側の角に等しくなります。だから、折れ曲がった点の角は、2つの角の和になります。

手順

わかっている角と、求めたい角に印をつけ、どの直線とどの直線がつくる角かをはっきりさせる
平行な2直線と、それに交わる直線を見つける。折れ線のときは、折れ曲がる点を通り、平行線に平行な直線を補助線として引く
求めたい角と、わかっている角の関係（対頂角・同位角・錯角・一直線で $18 0^{\circ}$ ）を見つける
等しい角を移していき、必要なら和や差を計算して求めたい角を出す

例題

2本の平行な直線 $ℓ$ 、 $m$ が左右にのびていて、 $ℓ$ が上、 $m$ が下にある。点 $A$ は $ℓ$ 上に、点 $B$ は $m$ 上にあり、点 $P$ は $ℓ$ と $m$ の間にあって、 $A$ や $B$ より左側にある。 $ℓ$ 上で $A$ より左に点 $C$ 、 $m$ 上で $B$ より左に点 $D$ をとると、 $∠ C A P = 3 5^{\circ}$ 、 $∠ D B P = 5 0^{\circ}$ であった。 $∠ A P B$ の大きさは何度か求めよ。

例題の解答

手順1: 求めたいのは、折れ線 $A \to P \to B$ が $P$ で折れ曲がってできる角 $∠ A P B$ です。わかっているのは $ℓ$ と $A P$ がつくる $∠ C A P = 3 5^{\circ}$ 、 $m$ と $B P$ がつくる $∠ D B P = 5 0^{\circ}$ です。

手順2: $P$ を通り $ℓ$ （したがって $m$ にも）平行な直線 $n$ を引き、 $n$ 上で $P$ より右に点 $E$ をとります。 $E$ は $∠ A P B$ の内側にあるので、 $∠ A P B = ∠ A P E + ∠ E P B$ と2つに分かれます。

手順3: $ℓ ∥ n$ で、直線 $A P$ が両方に交わっています。 $∠ C A P$ と $∠ A P E$ は直線 $A P$ をはさんで反対側にある錯角なので等しく、 $∠ A P E = 3 5^{\circ}$ 。同じように $n ∥ m$ で、直線 $B P$ について $∠ D B P$ と $∠ E P B$ は錯角なので、 $∠ E P B = 5 0^{\circ}$ 。

手順4: $∠ A P B = 3 5^{\circ} + 5 0^{\circ} = 8 5^{\circ}$ 。

答え: $85$

よくある誤り

平行でない2直線についても同位角・錯角が等しいとしてしまう誤り。正しくは、同位角・錯角が等しいといえるのは2直線が平行なときだけで、平行と書かれていない（または示せない）ときは使えない。
錯角と、となり合う角（合わせて $18 0^{\circ}$ になる角）を取り違え、たとえば錯角が $3 5^{\circ}$ のところを $18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 14 5^{\circ}$ としてしまう誤り。正しくは、錯角は2直線の内側で交わる直線をはさんで反対側にある角どうしで、等しい（ $3 5^{\circ}$ のまま）。
折れ線の角を、2つの角の差（例題なら $5 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 1 5^{\circ}$ ）や $18 0^{\circ}$ から引いた値にしてしまう誤り。正しくは、折れ曲がる点を通る平行線を引いて角を2つに分けると、それぞれが錯角になり、 $∠ A P B = 3 5^{\circ} + 5 0^{\circ} = 8 5^{\circ}$ と和になる。
対頂角ととなり合う角を混同し、交わる2直線の一方の角が $7 0^{\circ}$ のとき、となりの角も $7 0^{\circ}$ としてしまう誤り。正しくは、向かい合う角（対頂角）が $7 0^{\circ}$ で、となり合う角は $18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
横向きの平行な 2 直線 $ℓ$ , $m$ があり、直線 $ℓ$ が上、直線 $m$ が下にあります。直線 $n$ は、直線 $ℓ$ と点 $P$ で、直線 $m$ と点 $Q$ で交わっています。
- 点 $A$ と点 $C$ は直線 $ℓ$ 上にあり、 $A$ は $P$ の右側、 $C$ は $P$ の左側にあります。
- 点 $B$ は直線 $m$ 上にあり、 $Q$ の左側にあります。
- 点 $R$ は直線 $n$ 上にあり、 $P$ をはさんで $Q$ と反対側（直線 $ℓ$ より上側）にあります。
$∠ CPR = 6 5^{\circ}$ のとき、 $∠ PQB$ の大きさは何度ですか。
$P$ $Q$ $A$ $C$ $B$ $R$ $ℓ$ $m$ $n$ $6 5^{\circ}$
図は正確とは限りません

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）