平面図形の問題

$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{BAC}$ の二等分線なので
$$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC}=60^{\circ }$$
点 $\mathrm{D}$ を通り辺 $\mathrm{AB}$ に平行な直線をひき、辺 $\mathrm{AC}$ との交点を $\mathrm{E}$ とする。

$\mathrm{DE}\parallel \mathrm{AB}$ で、錯角は等しいので
$$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{BAD}=60^{\circ }$$
$△\mathrm{ADE}$ において $\angle \mathrm{DAE}=60^{\circ }$、$\angle \mathrm{ADE}=60^{\circ }$ だから、残りの角も
$$\angle \mathrm{AED}=180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$$
よって $△\mathrm{ADE}$ は正三角形である。$\mathrm{AD}=x\text{cm}$ とおくと
$$\mathrm{AE}=\mathrm{DE}=x,\mathrm{EC}=4-x$$
$\mathrm{DE}\parallel \mathrm{AB}$ より $△\mathrm{CED}\backsim △\mathrm{CAB}$ なので
$$\mathrm{CE}:\mathrm{CA}=\mathrm{ED}:\mathrm{AB}$$
$$(4-x):4=x:6$$
$$6(4-x)=4x$$
$$24-6x=4x$$
$$10x=24$$
$$x=\frac{12}{5}$$
したがって $\mathrm{AD}=\frac{12}{5}\text{cm}$ である。

$\mathrm{AD}=d$ とおく。AD は $\angle \mathrm{BAC}=120^{\circ }$ の二等分線なので $\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC}=60^{\circ }$。
D から AB, AC に垂線 DF, DG を下ろすと、$△\mathrm{ADF}$, $△\mathrm{ADG}$ は $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ の直角三角形で、$\mathrm{DF}=\mathrm{DG}=\frac{\sqrt{3}}{2}d$。
$△\mathrm{ABC}$ の面積: C から直線 AB（A の側への延長）に垂線 CH を下ろす。$\angle \mathrm{CAH}=180-120=60^{\circ }$ なので $\mathrm{AH}=2$、$\mathrm{CH}=2\sqrt{3}$。$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\times 6\times 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
一方 $△\mathrm{ABC}=△\mathrm{ABD}+△\mathrm{ADC}=\frac{1}{2}\times 6\times \frac{\sqrt{3}}{2}d+\frac{1}{2}\times 4\times \frac{\sqrt{3}}{2}d=\frac{5\sqrt{3}}{2}d$。
$\frac{5\sqrt{3}}{2}d=6\sqrt{3}$ より $d=\frac{12}{5}$ (cm)。
検算: 二等分線の長さの関係式 $\frac{1}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\right)\times 2\cdot \frac{1}{2}\cdot$ ではなく直接、$\frac{1}{d}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$（$120^{\circ }$ のとき成り立つ）から $d=\frac{12}{5}$ で一致。