平面図形の問題

$\mathrm{AE}$ の長さ

$\mathrm{BE}=12÷2=6(\text{cm})$、$\angle \mathrm{ABE}=90^{\circ }$ なので、$△\mathrm{ABE}$ で三平方の定理より

$$\mathrm{AE}=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}(\text{cm})$$

直線 $\mathrm{BF}$ と直線 $\mathrm{AD}$ の交点

線分 $\mathrm{BF}$ を $\mathrm{F}$ の方へ延長し、辺 $\mathrm{AD}$ を $\mathrm{D}$ の方へ延長した直線との交点を $\mathrm{H}$ とする。

$\mathrm{DF}=12-4=8(\text{cm})$ である。$△\mathrm{FCB}$ と $△\mathrm{FDH}$ において、$\angle \mathrm{CFB}=\angle \mathrm{DFH}$（対頂角）、$\mathrm{BC}\parallel \mathrm{AH}$ より $\angle \mathrm{FBC}=\angle \mathrm{FHD}$（錯角）なので、2 組の角がそれぞれ等しく $△\mathrm{FCB}\sim △\mathrm{FDH}$ である。よって

$$\mathrm{BC}:\mathrm{HD}=\mathrm{CF}:\mathrm{DF}=4:8=1:2$$

より $\mathrm{HD}=2\times 12=24(\text{cm})$ となり、$\mathrm{AH}=12+24=36(\text{cm})$ である。

$\mathrm{AG}:\mathrm{GE}$ を求める

$△\mathrm{GAH}$ と $△\mathrm{GEB}$ において、$\angle \mathrm{AGH}=\angle \mathrm{EGB}$（対頂角）、$\mathrm{AH}\parallel \mathrm{BE}$ より $\angle \mathrm{GAH}=\angle \mathrm{GEB}$（錯角）なので、$△\mathrm{GAH}\sim △\mathrm{GEB}$ である。よって

$$\mathrm{AG}:\mathrm{GE}=\mathrm{AH}:\mathrm{EB}=36:6=6:1$$

$\mathrm{AG}$ の長さ

$$\mathrm{AG}=\mathrm{AE}\times \frac{6}{6+1}=6\sqrt{5}\times \frac{6}{7}=\frac{36\sqrt{5}}{7}(\text{cm})$$

答え: $\frac{36\sqrt{5}}{7}\text{cm}$

正方形 ABCD の頂点は A, B, C, D の順に並ぶ。点 E は BC の中点なので $\mathrm{BE}=\mathrm{EC}=6$ cm、$\mathrm{CF}=4$ cm、$\mathrm{DF}=12-4=8$ cm。

$△\mathrm{ABE}$ で $\mathrm{AB}=12$、$\mathrm{BE}=6$、$\angle \mathrm{B}=90^{\circ }$ なので、三平方の定理より $\mathrm{AE}=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$ cm。

$△\mathrm{ABE}$ と $△\mathrm{BCF}$ について、$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=12$、$\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{BCF}=90^{\circ }$、$\mathrm{BE}:\mathrm{CF}=6:4=3:2$ で、$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=1:1$ なので相似ではない。そこで角の関係を座標で整理する。

B を原点として、C$(12,0)$、A$(0,12)$、E$(6,0)$、F$(12,4)$（CF$=4$）とする。
直線 BF：$y=\frac{1}{3}x$、直線 AE：傾き $\frac{0-12}{6-0}=-2$ より $y=-2x+12$。
交点 G：$\frac{1}{3}x=-2x+12$、$\frac{7}{3}x=12$、$x=\frac{36}{7}$、$y=\frac{12}{7}$。G$\left(\frac{36}{7},\frac{12}{7}\right)$。

G は AE 上にあり、A から E へ進むとき $x$ 座標は $0$ から $6$ まで変わる。$x$ 座標の比で $\mathrm{AG}:\mathrm{AE}=\frac{36}{7}:6=6:7$。
よって $\mathrm{AG}=6\sqrt{5}\times \frac{6}{7}=\frac{36\sqrt{5}}{7}$ cm。

【検算】${\mathrm{AG}}^2={\left(\frac{36}{7}\right)}^2+{\left(12-\frac{12}{7}\right)}^2=\frac{1296}{49}+\frac{5184}{49}=\frac{6480}{49}$。${\left(\frac{36\sqrt{5}}{7}\right)}^2=\frac{1296\times 5}{49}=\frac{6480}{49}$ で一致する。また G が BF 上にあることも $\frac{12}{7}=\frac{1}{3}\times \frac{36}{7}$ で確かめられる。

答え $\frac{36\sqrt{5}}{7}$ cm