平面図形の問題

点 $\mathrm{P}$ は 2 つの弧の上にあるので、$\mathrm{AP}=6\text{cm}$（$\mathrm{A}$ を中心とする円の半径）、$\mathrm{BP}=6\text{cm}$（$\mathrm{B}$ を中心とする円の半径）である。$\mathrm{AB}=6\text{cm}$ なので、$△\mathrm{ABP}$ は正三角形であり
$$\angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{PBA}=60^{\circ }$$
よって
$$\angle \mathrm{PBC}=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$

求める図形は、おうぎ形 $\mathrm{BPC}$（中心 $\mathrm{B}$、半径 $6\text{cm}$、中心角 $30^{\circ }$）から、弧 $\mathrm{BP}$（中心 $\mathrm{A}$）と線分 $\mathrm{BP}$ で囲まれた部分を取り除いたものである。この部分がおうぎ形 $\mathrm{BPC}$ の内側にあることは、次のように確かめられる。
- 弧 $\mathrm{BP}$ 上の点を $\mathrm{Q}$ とすると、$\mathrm{AQ}=\mathrm{AB}=6\text{cm}$、$\angle \mathrm{QAB}\le 60^{\circ }$ である。二等辺三角形 $\mathrm{ABQ}$ の底角は $60^{\circ }$ 以上なので、底辺 $\mathrm{BQ}$ は $6\text{cm}$ 以下である。つまり、弧 $\mathrm{BP}$ は $\mathrm{B}$ を中心とする半径 $6\text{cm}$ の円の内側にある
- 円の接線は接点を通る半径に垂直なので、弧 $\mathrm{BP}$ は点 $\mathrm{B}$ で $\mathrm{AB}$ に垂直な向き、つまり辺 $\mathrm{BC}$ の向きに出発し、線分 $\mathrm{BP}$ より $\mathrm{C}$ の側にふくらんで $\mathrm{P}$ に達する。つまり、弧 $\mathrm{BP}$ は $\angle \mathrm{PBC}$ の内側にある

おうぎ形 $\mathrm{BPC}$ の面積は
$$\pi \times 6^2\times \frac{30}{360}=3\pi$$

弧 $\mathrm{BP}$ と線分 $\mathrm{BP}$ で囲まれた部分の面積は、おうぎ形 $\mathrm{ABP}$（中心 $\mathrm{A}$、中心角 $60^{\circ }$）から正三角形 $\mathrm{ABP}$ を引いたものである。

おうぎ形 $\mathrm{ABP}$ の面積は
$$\pi \times 6^2\times \frac{60}{360}=6\pi$$

正三角形 $\mathrm{ABP}$ について、$\mathrm{P}$ から $\mathrm{AB}$ に垂線 $\mathrm{PH}$ を引くと $\mathrm{AH}=3\text{cm}$ なので、三平方の定理より
$$\mathrm{PH}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$
よって面積は
$$\frac{1}{2}\times 6\times 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$$

したがって、弧 $\mathrm{BP}$ と線分 $\mathrm{BP}$ で囲まれた部分の面積は $6\pi -9\sqrt{3}$ である。

求める面積は
$$3\pi -(6\pi -9\sqrt{3})=9\sqrt{3}-3\pi$$

答えは $9\sqrt{3}-3\pi {\text{cm}}^2$ である。

$\mathrm{AP}=\mathrm{AB}=6$（A を中心とする円の半径）、$\mathrm{BP}=\mathrm{AB}=6$（B を中心とする円の半径）なので、$△\mathrm{ABP}$ は正三角形。よって $\angle \mathrm{ABP}=60^{\circ }$、$\angle \mathrm{PBC}=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$。

求める図形は、B を中心とする半径 6 cm、中心角 $30^{\circ }$ のおうぎ形 BPC から、弦 BP と弧 BP（A を中心とする円の弧）で囲まれた弓形を除いたもの。弧 BP は A から見て弦 BP の外側にふくらみ、おうぎ形 BPC の内部に入るので、この弓形はおうぎ形に含まれる。

・おうぎ形 BPC の面積: $6\times 6\times \pi \times \frac{30}{360}=3\pi$
・弓形の面積: おうぎ形 APB（中心角 $60^{\circ }$）$=6\times 6\times \pi \times \frac{60}{360}=6\pi$ から正三角形 ABP を引く。正三角形 ABP の面積は、P から AB に下ろした垂線の足を H とすると AH=3、PH=$3\sqrt{3}$ より $6\times 3\sqrt{3}÷2=9\sqrt{3}$。弓形は $6\pi -9\sqrt{3}$。

求める面積は $3\pi -(6\pi -9\sqrt{3})=9\sqrt{3}-3\pi$ (cm²)。

検算: 座標で A(0,0)、B(6,0)、C(6,6) とすると P(3, $3\sqrt{3}$)。$9\sqrt{3}-3\pi \approx 15.588-9.425=6.163$ で正。おうぎ形 $3\pi \approx 9.425$ より小さく妥当。