点 を中心とする半径 、中心角 のおうぎ形 があります（, はおうぎ形の弧の両端で、 です）。点 と点 を線分で結びます。
おうぎ形 の弧 と線分 で囲まれた部分（おうぎ形から三角形 を除いた部分）の面積は何 ですか。円周率は を使いなさい。
弧と線分で囲まれた図形の面積
弓形（おうぎ形から三角形をひいた部分）や、2 つの弧と辺で囲まれた図形の面積を、おうぎ形と多角形の和や差に分けて求められる
前提
- 弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める （中学数学 平面図形）
- 円やおうぎ形を組み合わせた図形の面積 （算数 平面図形）
- 特別な直角三角形の辺の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
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説明
弧と線分で囲まれた図形の面積を、おうぎ形・三角形・四角形など、面積の求め方がわかる図形の和や差に分けて求められるようになります。代表的なのは、おうぎ形から三角形をひいた「弓形」です。2 つの弧が重なってできるレンズ形や、正方形の中に弧をかいた図形の面積なども、同じ考え方で求められます。
なぜそうしてよいのか
弧が入った図形は、そのままでは公式がありません。しかし、弧の両端と円の中心を線分で結ぶと、弧の部分はおうぎ形の一部になり、残りの部分は三角形や四角形になります。面積は「重ならないように分けた部分の面積の和」なので、全体を知っている図形の組み合わせとして見れば計算できます。
たとえば弓形（弧と、その両端を結ぶ弦で囲まれた部分）は、中心 と弧の両端 、 でできるおうぎ形 から、三角形 を取り除いた残りです（中心角が より小さいとき）。だから
となります。三角形の面積には高さが必要ですが、中心角が 、、 などのときは、特別な直角三角形の辺の比で高さが求められます。
2 つの図形が重なっているときは、2 つの面積をたすと重なり部分を 2 回数えることに注意します。「図形 1 + 図形 2 = （2 つを合わせた全体）+（重なり部分）」なので、重なり部分は「図形 1 + 図形 2 − 合わせた全体」で求められます。
手順
図形の弧ごとに、その弧の中心と半径・中心角を確認する
弧の両端と中心を線分で結び、図形をおうぎ形と多角形（三角形・四角形など）の和や差として表す。重なりがあるときは、2 回数える部分に注意する
おうぎ形の面積を （ は中心角の度数）で求める
多角形の面積を求める。高さが必要なら、特別な直角三角形の辺の比 や 、三平方の定理を使う
和や差を計算し、 を含む項と根号を含む項は別々のまま答える
例題
点 を中心とする半径 の円の周上に 点 、 があり、 である。短いほうの弧 と線分 で囲まれた部分の面積を求めよ。ただし、円周率は とする。
例題の解答
手順 1: 弧 の中心は 、半径は 、中心角は 。
手順 2: 求める部分は、おうぎ形 から三角形 をひいた弓形です。
手順 3: おうぎ形 の面積は
手順 4: 三角形 は 、 の二等辺三角形なので、残りの 2 つの角も となり、1 辺 の正三角形です。 から辺 に垂線 を引くと、三角形 は 、 の直角三角形で、 より 。よって
手順 5: 求める面積は 。
答え:
よくある誤り
三角形の面積を、高さを求めずに「底辺 斜めの辺 」として としてしまう誤り。正しくは高さは で、。
の項と根号の項をまとめて のように計算してしまう誤り。正しくは、 と は別の数なのでまとめられず、 のまま答える。
おうぎ形の面積で中心角の割合をかけ忘れて としてしまう誤り。正しくは 。
2 つの弧が重なるレンズ形で、おうぎ形を 2 つたしただけで止めてしまう誤り。たとえば、1 辺 の正方形 の内部に、頂点 を中心とする半径 の四分円（弧の両端は と ）と、頂点 を中心とする半径 の四分円（弧の両端は と ）をかいたとき、2 つの四分円の重なり部分（弧 2 本で囲まれた部分）の面積を とするのは誤り。2 つの四分円を合わせると正方形全体をちょうどおおうので、「四分円 + 四分円 = 正方形 + 重なり部分」となり、重なり部分が二重に数えられている。正しくは 。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
半径が 、弧の長さが のおうぎ形 がある（ は中心、, は弧の両端）。弦 と弧 で囲まれた部分の面積は何 か求めよ。
1 辺の長さが の正三角形 がある。次の 3 つの弧をかく。
- 点 を中心とし、 と を結ぶ半径 の弧（正三角形の外側にふくらむ方）
- 点 を中心とし、 と を結ぶ半径 の弧（正三角形の外側にふくらむ方）
- 点 を中心とし、 と を結ぶ半径 の弧（正三角形の外側にふくらむ方）
この 3 つの弧で囲まれた図形の面積は何 か求めなさい。ただし、各弧の中心角は である。
6 cm1 辺の長さが の正方形 がある。頂点 を中心とし半径 の円の弧のうち、正方形の内部を通って と を結ぶもの（弧 ）と、頂点 を中心とし半径 の円の弧のうち、正方形の内部を通って と を結ぶもの（弧 ）をかく。2 つの弧の交点を とする。
辺 、弧 のうち から までの部分、弧 のうち から までの部分の 3 つで囲まれた図形の面積は何 か求めよ。ただし、円周率は とする。
6 cm