平面図形の問題

正三角形の面積

頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線 $\mathrm{AH}$ をひくと、$\mathrm{BH}=3\text{cm}$ なので、三平方の定理より

$$\mathrm{AH}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}(\text{cm})$$
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\times 6\times 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}({\text{cm}}^2)$$

おうぎ形の面積

点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $6\text{cm}$、中心角 $60^{\circ }$ のおうぎ形 $\mathrm{ABC}$ の面積は

$$\pi \times 6^2\times \frac{60}{360}=6\pi ({\text{cm}}^2)$$

このおうぎ形から $△\mathrm{ABC}$ を除いた部分（弧 $\mathrm{BC}$ と弦 $\mathrm{BC}$ で囲まれた部分）の面積は $6\pi -9\sqrt{3}$ である。

求める面積

求める図形は、$△\mathrm{ABC}$ に、各辺の外側にある弧と弦で囲まれた部分を 3 つ加えたものである。3 つの部分の面積はどれも等しいので

$$9\sqrt{3}+3\times (6\pi -9\sqrt{3})=9\sqrt{3}+18\pi -27\sqrt{3}=18\pi -18\sqrt{3}({\text{cm}}^2)$$

3 つの弧で囲まれた図形は、正三角形 ABC に、各辺の外側にある弓形(弧と弦で囲まれた部分)3 つをつけた形。

半径 6 cm、中心角 $60^{\circ }$ のおうぎ形の面積は $\pi \times 6^2\times \frac{60}{360}=6\pi$ (cm²)。

正三角形 ABC の面積は、底辺 6 cm、高さ $3\sqrt{3}$ cm より $6\times 3\sqrt{3}÷2=9\sqrt{3}$ (cm²)。

弓形 1 つの面積は、おうぎ形から正三角形をひいて $6\pi -9\sqrt{3}$ (cm²)。たとえば A を中心とするおうぎ形 ABC から正三角形 ABC をひいたものが、弧 BC と弦 BC で囲まれた弓形。

求める面積は、正三角形に弓形 3 つをたして
$9\sqrt{3}+3\times (6\pi -9\sqrt{3})=18\pi -18\sqrt{3}$ (cm²)。

検算: おうぎ形 3 つの面積の和 $18\pi$ では、正三角形が 3 回数えられているので 2 回分をひいて、$18\pi -2\times 9\sqrt{3}=18\pi -18\sqrt{3}$。一致。数値は $56.55-31.18\approx 25.4$ で、正三角形の面積約 15.6 より大きく、1 辺 6 の円の面積約 113 より小さいので妥当。