素因数分解と約数の個数

整数を素数のかけ算に分解し（例: $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ ）、それぞれの素数を何個使うかの選び方をかけ合わせて、約数の個数（例: 72 の約数は $4 \times 3 = 12$ 個）を書き出さずに求められる

前提

約数の見つけ方（算数整数の性質）

説明

整数を、それ以上分けられない数（素数）のかけ算に分解できるようになります（例: $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ ）。これを「素因数分解」といいます。素因数分解を使うと、約数を 1 つずつ書き出さなくても、約数が何個あるかをかけ算で求められます。大きな数の約数の個数を問う問題や、約数の個数から元の数を考える中学入試の問題で使います。

なぜそうしてよいのか

1 とその数自身のほかに約数をもたない数を「素数」といいます（2, 3, 5, 7, 11, 13, … 。1 は素数にふくめません）。どんな整数も、2 や 3 などの素数で順にわっていくと、最後は素数だけのかけ算になります。たとえば $72 \div 2 = 36$ 、 $36 \div 2 = 18$ 、 $18 \div 2 = 9$ 、 $9 \div 3 = 3$ なので、 $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ です。どの順にわっていっても、使う素数とその個数は同じになります。

72 の約数は、72 をつくっている材料「2 が 3 こ、3 が 2 こ」の中から、いくつかを選んでかけた数です。たとえば 2 を 1 こ、3 を 2 こ選ぶと $2 \times 3 \times 3 = 18$ で、18 は 72 の約数です（残りの $2 \times 2 = 4$ とかけると 72 になるからです）。何も選ばなければ 1、全部選べば 72 です。反対に、72 の約数をつくる材料も、この中の 2 と 3 だけです。

そこで、約数の個数は「材料の選び方が何通りあるか」と同じになります。2 は 0 こ・1 こ・2 こ・3 こ使うの 4 通り、3 は 0 こ・1 こ・2 こ使うの 3 通りで、2 の選び方 1 つ 1 つに対して 3 の選び方が 3 通りずつあるので、全部で $4 \times 3 = 12$ 通りです。ちがう選び方をすればちがう数になるので、72 の約数はちょうど 12 こです。どの素数についても「使う個数＋ 1」通り（0 こ使う場合があるので 1 をたす）の選び方があります。

手順

2, 3, 5, 7, … の小さい素数から順に、わり切れるだけわっていき、商が 1 になるまで続ける
わった素数をすべてかけ算でならべて、素因数分解の形にする（例: $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ ）
それぞれの素数が何こ使われているかを数える
それぞれの素数について「使われている個数＋ 1」を求める（0 こ使う場合もふくめた選び方の数）
手順4 の数をすべてかけ合わせたものが、約数の個数

例題

180 の約数は何個ありますか。

例題の解答

手順1: 小さい素数から順にわります。
$180 \div 2 = 90$ 、 $90 \div 2 = 45$ （45 は 2 でわり切れない）
$45 \div 3 = 15$ 、 $15 \div 3 = 5$ （5 は 3 でわり切れない）
$5 \div 5 = 1$

手順2: $180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$ です。

手順3: 2 が 2 こ、3 が 2 こ、5 が 1 こです。

手順4: 選び方は、2 が $2 + 1 = 3$ 通り（0, 1, 2 こ）、3 が $2 + 1 = 3$ 通り、5 が $1 + 1 = 2$ 通り（0, 1 こ）です。

手順5: $3 \times 3 \times 2 = 18$ （個）です。

答えは 18 個です。

答え: $18$

よくある誤り

「0 こ使う」場合を忘れて、個数に 1 をたさない誤り。 $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ の約数の個数を $3 \times 2 = 6$ 個としてはいけません。正しくは $(3 + 1) \times (2 + 1) = 12$ 個です。
選び方の数をたしてしまう誤り。72 の約数の個数を $4 + 3 = 7$ 個としてはいけません。2 の選び方 1 つずつに対して 3 の選び方が 3 通りずつあるので、正しくは $4 \times 3 = 12$ 個です。
素数でない数で分解を止めてしまう誤り。 $180 = 4 \times 45$ のまま、4 と 45 を「1 こずつ」と数えて $2 \times 2 = 4$ 個としてはいけません。素数になるまで分けて $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$ とし、正しくは $3 \times 3 \times 2 = 18$ 個です。
1 を素数としてかけ算に入れてしまう誤り。 $12 = 1 \times 2 \times 2 \times 3$ として 1 の選び方まで数え、 $2 \times 3 \times 2 = 12$ 個としてはいけません。1 は素数ではないので、正しくは $12 = 2 \times 2 \times 3$ から $3 \times 2 = 6$ 個です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$45$ は、素数だけのかけ算で $45 = 3 \times 3 \times 5$ と表せます。このことを使って、 $45$ の約数は全部で何個あるか求めなさい。

この技能を使う問題

難易度 3（中学入試の基本レベル）
約数がちょうど $12$ 個ある整数のうち、 $3$ けたで最も小さいものはいくつですか。

この技能の次に学べること

最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
階乗に含まれる素因数の個数（数学A 整数の性質）
約数の和（偶数の約数の和をふくむ）（算数整数の性質）
約分できない分数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）