平方根の意味と根号の簡単化

$\sqrt{45}$ を、根号の中をできるだけ小さい自然数にした $a\sqrt{b}$ の形に直しなさい。ただし、$a$, $b$ は自然数とします。

底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上に点 $\mathrm{A}$ をとります。点 $\mathrm{A}$ から円錐の側面にそって糸を $1$ 周巻きつけ、再び点 $\mathrm{A}$ まで戻します。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 $\text{cm}$ ですか。

次の式を計算せよ。
$$\frac{12}{\sqrt{6}}-\sqrt{54}+\sqrt{3}\times \sqrt{8}$$

中心が $O$、半径が $7\text{cm}$ の円がある。この円の弦 $AB$ と中心 $O$ との距離が $3\text{cm}$ であるとき、弦 $AB$ の長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。

$x$ についての 2 次方程式 $$x(2x+1)=3(x+1)-2$$ を解け。解をすべて求めよ。

$\angle \mathrm{C}=90^{\circ }$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AC}=6\text{cm}$、$\mathrm{BC}=8\text{cm}$ である。$\angle \mathrm{BAC}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。線分 $\mathrm{AD}$ の長さは何 cm か求めよ。

$AB=5\text{cm}$、$BC=6\text{cm}$、$CA=7\text{cm}$ の $△ABC$ がある。頂点 $B$ から辺 $CA$ にひいた垂線の長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。

$x$ についての 2 次方程式 $$(2x-1{)}^2=x(x+4)+2$$ を解き、解をすべて求めなさい。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の立方体 $ABCD\text{-}EFGH$ があります。底面は正方形 $ABCD$、上面は正方形 $EFGH$ で、$AE$, $BF$, $CG$, $DH$ はどれも底面に垂直な辺です。$3$ 点 $B$, $D$, $G$ を通る平面に、頂点 $C$ から垂線をひくとき、その垂線の長さ（頂点 $C$ と平面 $BDG$ との距離）は何 $\text{cm}$ か求めなさい。

頂点を $O$ とし、底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上の点を $A$ とし、母線 $OA$ の中点を $M$ とします。点 $A$ から円錐の側面にそって $1$ 周するように糸をかけ、点 $M$ まで張ります。糸の長さがもっとも短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ か求めなさい。

$AB=6\text{cm}$、$BC=8\text{cm}$ の長方形 $ABCD$ がある。辺 $AD$ の中点を $M$ とする。この長方形を、頂点 $B$ が点 $M$ に重なるように $1$ 本の直線を折り目として折る。折り目の直線と辺 $AB$ との交点を $P$、辺 $BC$ との交点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。

1 辺の長さが $12\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ がある。辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{E}$ とし、辺 $\mathrm{CD}$ 上に $\mathrm{CF}=4\text{cm}$ となる点 $\mathrm{F}$ をとる。線分 $\mathrm{AE}$ と線分 $\mathrm{BF}$ の交点を $\mathrm{G}$ とする。

線分 $\mathrm{AG}$ の長さは何 cm か求めよ。

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ の台形 $\mathrm{ABCD}$ において、$\mathrm{AD}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=10\text{cm}$、$\mathrm{AB}=6\text{cm}$、$\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ }$ である。対角線 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{E}$ とするとき、線分 $\mathrm{BE}$ の長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。

$1$ 辺の長さが $4\text{cm}$ の立方体があります。この立方体の $8$ 個の頂点がすべて球面上にある球の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

$1$ 辺の長さが $6\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。頂点 $\mathrm{A}$ を通り、辺 $\mathrm{BC}$ に平行な直線を $\ell$ とします。正三角形 $\mathrm{ABC}$ を、直線 $\ell$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

底面が $1$ 辺 $8\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ で、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$ である正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。この正四角錐の体積は $128{\text{cm}}^3$ です。

この正四角錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

次の式を計算しなさい。
$$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{2}{)}^2}{\sqrt{6}}$$

正の数 $p$ について、$p$ 以下の最大の整数を $p$ の整数部分といい、$p$ から整数部分をひいた数を $p$ の小数部分という。$\frac{6}{3-\sqrt{3}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a(a+4)$ の値を求めよ。

$AB=9\text{cm}$、$BC=12\text{cm}$ の長方形 $ABCD$ がある。辺 $BC$ の中点を $M$ とし、$BC$ を直径とする半円を長方形の内側にかく。さらに、長方形の内側に円 $O$ を、辺 $AB$ と辺 $AD$ の両方に接し、かつこの半円の弧に外側から接するようにかく。このとき、円 $O$ の半径は何 $\text{cm}$ か求めよ。

$1$ 辺の長さが $4\text{cm}$ の正方形 $ABCD$ があります。頂点 $A$ を通り、対角線 $AC$ に垂直な直線を $\ell$ とします（直線 $\ell$ は対角線 $BD$ に平行で、正方形とは点 $A$ だけを共有します）。正方形 $ABCD$ を、直線 $\ell$ を軸として $1$ 回転させてできる立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。