数と式の問題

はじめの 2 つの項は、分母どうしの積が $(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=3-2=1$ になることを使って通分します。
$$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$$
ここで
$$(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6},(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2=5-2\sqrt{6}$$
なので
$$\frac{(5+2\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6})}{1}=10$$

3 つ目の項は、$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ より
$$(\sqrt{12}-\sqrt{2}{)}^2=(2\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2=12-4\sqrt{6}+2=14-4\sqrt{6}$$
なので
$$\frac{14-4\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{14}{\sqrt{6}}-4=\frac{14\sqrt{6}}{6}-4=\frac{7\sqrt{6}}{3}-4$$

したがって
$$10-\left(\frac{7\sqrt{6}}{3}-4\right)=14-\frac{7\sqrt{6}}{3}$$

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2}{3-2}=5+2\sqrt{6}$。
同様に $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2}{3-2}=5-2\sqrt{6}$。2つの和は $10$。
$(\sqrt{12}-\sqrt{2}{)}^2=12-2\sqrt{24}+2=14-4\sqrt{6}$。
$\frac{14-4\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{14\sqrt{6}}{6}-4=\frac{7\sqrt{6}}{3}-4$。
よって与式は $10-\left(\frac{7\sqrt{6}}{3}-4\right)=14-\frac{7\sqrt{6}}{3}$。
検算: $\sqrt{6}\approx 2.449$ で $14-5.715\approx 8.285$。直接計算: $10-((3.464-1.414{)}^2/2.449)=10-4.2025/2.449\approx 10-1.716=8.284$。