根号の乗除と加減

$a \times b = ab$ 、 $a \div b = \frac{a}{b}$ を使って $3 \times 8 = 26$ のように計算し、 $a b$ の形に直して $54 + 24 = 56$ のように根号の同類項をまとめられる

前提

平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）

この技能までの道筋（9 技能）

算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）

説明

根号（ $a$ ）をふくむ数どうしのかけ算・わり算・たし算・ひき算ができるようになります。かけ算・わり算は根号の中どうしをまとめて計算し、たし算・ひき算は $□ △$ の形に直して、根号の中が同じものどうしをまとめます。三平方の定理で出てきた長さを計算するときなど、根号をふくむ計算全般の土台になります。

なぜそうしてよいのか

かけ算 正の数 $a$ , $b$ について、 $a \times b$ を 2 乗すると、かける順番を入れかえて
$(a \times b)^{2} = (a \times a) \times (b \times b) = a \times b$
になります。 $a \times b$ は正の数で、2 乗すると $ab$ になるので、平方根の意味から $a \times b = ab$ です。

わり算 同じように $a \div b = \frac{a}{b}$ を 2 乗すると $\frac{a}{b}$ になり、これも正の数なので $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ です。

たし算・ひき算 一方、たし算については $a + b = a + b$ は成り立ちません（ $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ ですが、 $25 = 5$ ）。そこで $6$ を 1 つのまとまりと考えます。 $36 + 26$ は「 $6$ が 3 個と 2 個」なので、分配法則から $(3 + 2) 6 = 56$ です。これは文字式の同類項をまとめるのと同じ考え方です。 $54$ と $24$ のように一見ちがう数でも、 $36$ と $26$ に直すと同じまとまりがあらわれるので、まず $□ △$ の形に直すことが大切です。根号の中がちがうもの（ $2$ と $3$ など）はまとめられません。

手順

かけ算・わり算は、根号の外の数どうし・根号の中の数どうしをそれぞれ計算する（ $a \times b = ab$ 、 $a \div b = \frac{a}{b}$ ）
出てきた根号を、根号の中ができるだけ小さい自然数になる $□ △$ の形に直す（大きな数になる前に素因数分解しておくと楽）
たし算・ひき算は、すべての項を $□ △$ の形に直す
根号の中が同じ項どうしで、根号の外の数をたしたりひいたりしてまとめる。根号の中がちがう項はそのまま残す

例題

$6 \times 3 + 32 - 50$ を計算せよ。

例題の解答

【手順 1】かけ算を先に計算します。
$6 \times 3 = 18$

【手順 2・3】すべての項を $□ △$ の形に直します。
- $18 = 3 \times 3 \times 2 = 32$
- $32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 42$
- $50 = 5 \times 5 \times 2 = 52$

よって式は $32 + 42 - 52$ です。

【手順 4】根号の中がすべて 2 なので、外の数をまとめます。
$(3 + 4 - 5) 2 = 22$

答え: $22$

よくある誤り

根号の中どうしをたして $2 + 3 = 5$ としてしまう誤り。正しくは、根号の中がちがうのでまとめられず $2 + 3$ のまま
$□ △$ の形に直さずに、 $32 - 50$ を「根号の中がちがうからまとめられない」としてしまう誤り。正しくは、 $42 - 52 = - 2$
外の数と中の数を混ぜてかけて $23 \times 32 = 56$ や $65$ としてしまう誤り。正しくは、外どうし・中どうしをかけて $(2 \times 3) 3 \times 2 = 66$
根号の外の数を中の数とたし合わせて $32 + 2 = 34$ や $32 + 2 = 44$ としてしまう誤り。正しくは、 $2$ が $3 + 1 = 4$ 個なので $42$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の計算をしなさい。
$12 + 27$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）