指数の拡張と指数関数

次の式の値を求めよ。$$8^{\frac{2}{3}}\times 16^{-\frac{3}{4}}$$

次の式の値を求めよ。$$16^{\frac{3}{4}}\times 8^{-\frac{2}{3}}÷2^{-1}$$

次の式の値を求めよ。$$16^{\frac{3}{4}}\times 8^{-\frac{2}{3}}$$

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=12e^x$$
と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-3x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{f}(\omega )$ を $\omega$ の式で求めよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

実数 $x$ に対して $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ とおき、$a$ を正の実数とする。曲線 $y=f(x)$ $(0\le x\le a)$ の長さを $L$、この曲線と $x$ 軸および 2 直線 $x=0$, $x=a$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。$L=S$ であり、その共通の値が $\frac{e^a-e^{-a}}{2}$ であることを証明せよ。ただし、$C^1$ 級関数 $g$ のグラフ $y=g(x)$ $(\alpha \le x\le \beta )$ の長さが ${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{1+g^{\prime }(x{)}^2}dx$ で与えられることは用いてよい。

正の実数 $a$ が
$$a^{\frac{1}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}=2$$
を満たすとき、$a+a^{-1}$ の値を求めよ。

曲線 $C:y=\frac{1}{x}(x\ne 0)$ 上の点 $\mathrm{P}\left(t,\frac{1}{t}\right)$ を考える。ただし $t$ は正の実数とする。点 $\mathrm{P}$ における $C$ の法線は、$\mathrm{P}$ 以外のもう 1 点 $\mathrm{Q}$ で $C$ と交わる。$t$ が正の実数全体を動くとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の長さの最小値を求めよ。

実数 $x$ は $x<0$ を満たし、さらに
$$4^x+4^{-x}=23$$
を満たしている。このとき、
$$\frac{8^x-8^{-x}}{2^x+2^{-x}}$$
の値を求めよ。

ある試料に、2 種類の放射性原子核 A と B が含まれている。A の半減期は $2.0$ 日、B の半減期は $6.0$ 日である。A と B はそれぞれ独立に崩壊し、崩壊してできる原子核は A でも B でもない。また、試料に外から A や B が加わることはない。時刻 $0$ において A と B の原子核の数は等しかった。B の原子核の数が A の原子核の数の $4$ 倍になるのは、時刻 $0$ から何日後か。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面（懸垂面の一部）
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2={\cosh }^{2}z,|z|\le \log 2\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ のガウス曲率を $K$、面積要素を $dA$ とするとき、全ガウス曲率
$${\iint }_{S}KdA$$
の値を求めよ。

恒星 A と恒星 B は、スペクトル型と光度階級が同じで、真の明るさ（絶対等級）が等しいことがわかっている。2 つの恒星の観測結果は次の表のとおりである。

恒星 B の年周視差は何秒角か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、恒星までの距離 $d$〔パーセク〕と年周視差 $p$〔秒角〕の間には $d=\frac{1}{p}$ の関係があり、見かけの等級が $5$ 等小さいと明るさは $100$ 倍になるものとする。また、恒星の見かけの明るさは距離の 2 乗に反比例し、星間物質による減光は無視できるものとする。必要なら ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。

不等式
$${\log }_{x}4+{\log }_{2x}2\geqq {\log }_{4x}8$$
を満たす実数 $x$ の値の範囲を求めよ。

$x={\left(\sqrt{5}+2\right)}^{\frac{1}{3}}$ とする。このとき、$x^5-x^{-5}$ の値を求めよ。

放射性の原子核 A と B がある。A の半減期は $2.0$ 時間、B の半減期は $3.0$ 時間である。ある試料には、時刻 $0$ において A と B がちょうど $16:3$ の個数の比で含まれている。A, B が崩壊してできる原子核はどれも A でも B でもなく、試料に A, B が新たに加わったり、試料から出て行ったりすることはない。

ある原子核について、単位時間あたりに崩壊する原子核の数は、その時点で残っている原子核の数に比例し、その原子核の半減期に反比例する（比例定数は A と B で共通）ものとする。

A の単位時間あたりに崩壊する数と、B の単位時間あたりに崩壊する数が等しくなるのは、時刻 $0$ から何時間後か。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ を互いに独立で、いずれも区間 $[-1,1]$ 上の一様分布（確率密度関数が $-1\le x\le 1$ で $\frac{1}{2}$、それ以外で $0$）に従う確率変数とする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。このとき、すべての正の実数 $s$ に対して
$$P(S_n\ge s)\le \exp \left(-\frac{3s^2}{2n}\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- 期待値の線形性と、マルコフの不等式（確率 $1$ で $Y\ge 0$ を満たし期待値が有限な確率変数 $Y$ と $a>0$ に対して $P(Y\ge a)\le \frac{E[Y]}{a}$）
- 互いに独立な有界な確率変数 $Y_1,\dots ,Y_n$ に対して $E[Y_1{Y}_2\cdots Y_n]=E[Y_1]E[Y_2]\cdots E[Y_n]$ であること、および $X_1,\dots ,X_n$ が独立ならば、実数値関数 $g$ による $g(X_1),\dots ,g(X_n)$ も独立であること
- 指数関数のマクローリン展開 $e^u=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{u^k}{k!}$ $(u\in \mathbb{R})$

正の有理数 $x$, $y$ が $x<y$ かつ
$$x^y=y^x,y-x=\frac{64}{81}$$
を満たしている。このとき、$x$ の値を求めよ。